Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы

  Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой .

 Подпись:                       Рис. 2.1.
                      Рис. 2.1
          

   Р е ш е н и е. Для построения кривой учтем, что она симметрична относительно осей координат. Действительно, если заменить  на  то переменная  не меняется, а  изменяет только свой знак; следовательно, кривая симметрична  относительно оси . При замене же  на  переменная  не меняется, а  изменяет только свой знак. Это значит, что кривая сим­метрична  относительно оси . Далее, так как функ­ции  имеют общий период , то достаточно ограничится следующим отрезком изменения параметра: . Из уравнений кривой  легко заключить, что переменные   и  одновременно сохраняют неотрицательные  значения только при изме­нении параметра  на отрезке  поэтому при  получается часть кривой, лежащая в первой четверти. Общий  вид кривой изображен на рис.2.1. Как видно из этого рисунка, достаточно вычислить  площадь одной петли кривой, соответствующей изменению параметра  от  до , и затем удвоить результат

дополнительная литература: 1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М. Наука, 1984. 2. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. - М. Просвещение, 1988. 3. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М. Наука, 1985. 4. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. - М. Наука, 1986. 5. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. - М. ГИТТЛ, 1949. 6. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М. Наука, 1976.
Физические приложения криволинейных интегралов