Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Площадь в полярных координатах

Пример. Найти площадь фигуры, лежащей  вне круга  и огра­ниченной кривой  .   Подпись:  

                   Рис.3.2
          

    Р е ш е н и е. Так как функция  имеет период , то при изменении  от  до  радиус-вектор описывает три рав­ных лепестка кривой. При  этом допустимыми для  являются те значения, при которых , откуда Следовательно, один из лепестков опи­сывается при изменении  от  до . Остальные два лепестка полу­чаются при изменении   от  до  и от  до  соответственно (рис. 3.2). Вырезая из лепестков части, принадлежащие кругу , мы полу­чим фигуру, площадь которой нужно определить. Ясно, что искомая площадь равна утроенной площади Найдем полярные координаты точек пересечения М и N. Для этого  решим уравнение  т.е. . Между  и  находятся  только корни  и . . Таким образом, точке N соответствует полярный угол , точке М — угол .Далее из рисунка заключаем, что

ЛИТЕРАТУРА ОСНОВНАЯ 1. Зорич В.А. Математический анализ.Учебник .Ч.II М.: Наука,1984. 640с. 2. Камынин Л.И. Курс математического анализа.Т.II. Учебник. М.: Изд во МГУ, 1995. 624с. 3. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Продолжение курса. Под ред. А.Н.Тихонова. М.: Изд-во МГУ, 1987. 358 с. 4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа ( в двух томах). М.: Высшая школа,1981. т. I ;т.II - 584 с.
Физические приложения криволинейных интегралов