Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Вычисление обьема тела

Пример. Вычислить объем тела, которое получается от вращения кардиоиды , вокруг полярной оси.

 Р е ш е н и е. Кардиоида изображена на рис.2.3 Искомый объем представляет собой разность объемов, получаемых от вращения вокруг оси Ох (она же и полярная ось) фигур MNKLO и OKLO.

  Перейдем, как и в предыдущей задаче, к параметрическому заданию кривой, приняв за параметр полярный угол : Признак Даламбера, радикальный и интегральный Коши

,

.

Очевидно, что абсцисса точки М равна 2а (значение х при ). Абсцисса же точки К есть значение минимума функции .

  Найдем этот минимум:

,

.

 При  получаем , при  получаем .

 Следовательно, искомый объем равен

.

Делая замену , получим

,

Таким образом:

 

 

 

 

  0

 

 

  0

   

ЛИТЕРАТУРА ОСНОВНАЯ 1. Зорич В.А. Математический анализ.Учебник .Ч.II М.: Наука,1984. 640с. 2. Камынин Л.И. Курс математического анализа.Т.II. Учебник. М.: Изд во МГУ, 1995. 624с. 3. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Продолжение курса. Под ред. А.Н.Тихонова. М.: Изд-во МГУ, 1987. 358 с. 4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа ( в двух томах). М.: Высшая школа,1981. т. I ;т.II - 584 с.
Физические приложения криволинейных интегралов