Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах

Пример . Вычислить длину дуги астроиды .

 Р е ш е н и е. Как известно, астроида симметрична относительно осей координат и биссектрис координатных углов. Поэтому доста­точно вычислить длину дуги астроиды, заключенной между биссектрисой и осью Qy, и результат умножить на 8.

  В первой четверти  и  при ,

  при .

 Далее

и

.

Следовательно,

.

  Замечание. Если бы мы сначала стали вычислять длину дуги астроиды, лежащей в первой четверти, то пришли бы к интегралу

. подынтегральная функция которого возрастает до бесконечности при .Литература: 1. Н.С. Пискунов "Дифференциальное и интегральное исчисления", Москва, "Наука", 1972 г. 2. И.М. Уваренков, М.З. Маллер "Курс математического анализа", Москва, "Просвещение", 1976 г. 3. В.С. Шипачев "Высшая математика", Москва, "Высшая школа", 1990г. 4. Г.Е. Шилов "Математический анализ функции одного переменного", Москва, "Наука", 1970 г. 5. Я.С. Бугров, С.М. Никольский "Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного", Москва, "Наука", 1989 г. 6. В.А. Подольский, А.М. Суходский "Сборник задач по математике для техников-программистов", Москва, "Высшая школа", 1978 г. 7. Г.М. Фихтенгольц "Курс дифференциального и интегрального исчисления", том III, Москва, "Наука", 1969г. 8. В.Е. Шнейдер, А.И. Слуцкий, А.С. Шумов "Краткий курс высшей математики", том2, Москва, "Высшая школа", 1978г.
Физические приложения криволинейных интегралов