Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрическ

Пример . Вычислить длину дуги эллипса

.

  Р е ш е н и е. Перейдем к параметрическому заданию эллипса

, .

 Дифференцируя по , получаем

,

откуда

,

где — эксцентриситет эллипса, .

  Таким образом,

.

Интеграл  не берется в элементарных функциях: он называется эллиптическим интегралом второю рода. Полагая , приводим интеграл к стандартному виду:

.

где  Е()—обозначение для так называемого полного эллиптического интеграла второго рода.

 Следовательно, для длины дуги эллипса имеет место формула .

  Обычно полагают  и пользуются таблицами функции

.

  Например, если  и , то

.

  По таблице значений эллиптических интегралов второго рода находим .

Литература: 1. Н.С. Пискунов "Дифференциальное и интегральное исчисления", Москва, "Наука", 1972 г. 2. И.М. Уваренков, М.З. Маллер "Курс математического анализа", Москва, "Просвещение", 1976 г. 3. В.С. Шипачев "Высшая математика", Москва, "Высшая школа", 1990г. 4. Г.Е. Шилов "Математический анализ функции одного переменного", Москва, "Наука", 1970 г. 5. Я.С. Бугров, С.М. Никольский "Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного", Москва, "Наука", 1989 г. 6. В.А. Подольский, А.М. Суходский "Сборник задач по математике для техников-программистов", Москва, "Высшая школа", 1978 г. 7. Г.М. Фихтенгольц "Курс дифференциального и интегрального исчисления", том III, Москва, "Наука", 1969г. 8. В.Е. Шнейдер, А.И. Слуцкий, А.С. Шумов "Краткий курс высшей математики", том2, Москва, "Высшая школа", 1978г.
Физические приложения криволинейных интегралов