Типовой расчет по математике Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Вычисление объема тела Вычисление длин дуг

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Тройные интегралы в сферических координатах

Пример Найти интеграл , где область интегрирования U − шар, заданный уравнением x2 + y2 + z2 = 25.

Решение. Поскольку область U представляет собой шар, и к тому же подынтегральное выражение является функцией, зависящей от f (x2 + y2 + z2), то перейдем к сферическим координатам. Сделаем замену: Новые переменные изменяются в пределах: Учитывая якобиан ρ2sin θ, записываем интеграл в виде:

Пример Вычислить интеграл

где область U представляет собой единичный шар x2 + y2 + z2 ≤ 1. Решение. Центр данного шара расположен в начале координат. Следовательно, в сферических координатах область интегрирования U описывается неравенствами Записывая интеграл в сферических координатах, получаем Как видно, тройной интеграл вырождается в произведение трех однократных интегралов, каждый из которых вычисляется независимо. В результате находим
6. Райков Д.А. Одномерный математический анализ. М.: Высшая школа, 1982. 7. Зорич В.А. Математический анализ. М.: Наука,1982, ч.1. 8. Будак О.М. ,Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1967. 608 с. 9. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. М.: Наука,1986. 10. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. М.: Наука,1995.
Тройные интегралы в сферических координатах