Типовой расчет по математике Производная показательной и логарифмической функции Производная степенной функции Исследование функций с помощью производных Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Криволинейные интегралы первого рода

Определение Пусть кривая C описывается векторной функцией , где переменная s представляет собой длину дуги кривой (рисунок 1). Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как Криволинейный интеграл существует, если функция F непрерывна на кривой C.
Рис.1
Рис.2
Свойства криволинейного интеграла первого рода Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами:
  1. Интеграл не зависит от ориентации кривой;
  2. Пусть кривая C1 начинается в точке A и заканчивается в точке B, а кривая C2 начинается в точке B и заканчивается в точке D (рисунок 2). Тогда их объединением будет называться кривая C1 U C2, которая проходит от A к B вдоль кривой C1 и затем от B к D вдоль кривой C2. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение
  3. Если гладкая кривая C задана параметрически соотношением и скалярная функция F непрерывна на кривой C, то
  4. Если C является гладкой кривой в плоскости Oxy, заданной уравнением , то
  5. Если гладкая кривая C в плоскости Oxy определена уравнением , то
  6. В полярных координатах интеграл выражается формулой где кривая C задана в полярных координатах функцией .
  7. Случай с переменным верхним пределом.

    Теорема о непрерывности.

    Пусть функция  непрерывна;

    - непрерывны

    *-непрерывна.

    Доказательство:

    , где

     

    * бесконечно малая, а величина - ограниченная.

Задача вычисления скорости прямолинейного движения точки
Рекомендуемая литература. а) основная литература: 1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М. Наука, 1966. 2. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М. Наука, 1982. 3. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М. Наука, 1969. 4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М. Наука, 1984. 5. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. - М. Физматлит, 1995. 6. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - М. Наука, 1992; - М. Интеграл-пресс, 1998. 7. Розенблюм А.А. Интегрирование дифференциальных уравнений операторным методом. Методическое пособие. - Горький. ГГУ, 1980. 8. Петровский И.Г., Лекции по теории интегральных уравнений. - М.: Гостехиздат, 1951.