Типовой расчет по математике Производная показательной и логарифмической функции Производная степенной функции Исследование функций с помощью производных Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Криволинейные интегралы первого рода

Пример Найти криволинейный интеграл , где кривая C является дугой эллипса , лежащей в первом квадранте (рисунок 6).

Решение. Запишем уравнение эллипса в параметрической форме. Диапазон изменений t для первого квадранта равен . Следовательно, по формуле заданный интеграл преобразуется следующим образом Сделаем замену. Положим . Тогда Уточним пределы интегрирования. Если t = 0, то u = 0, а при получаем u = a. В результате интеграл становится равным Для вычисления полученного интеграла удобно сделать еще одну замену переменной. Если u = 0, то , и соответственно, если u = a, то . Таким образом,

1)     если в точки M0 первый дифференциал равен 0, а второй является знакоопределенной квадратичной формой, то для дифференцируемой dокр точки M0 функции в точке M0 имеется локальный max если квадрат второго дифференциала отрицательно определен, и min – если положительно определен.

2)     Если , - знакоопределенная квадратичная форма, а, в dокр точки M0 функция дифференцируема, то точка M0 не является точкой локального экстремума.

3)     Если в точке M0=0, если  в точке M0 является квазиопределенной квадратичной формы, то ничего нельзя сказать.

Д-во: Приращение функции в точке M0  

r - расстояние от точки M до M0 

* - приращение конкретной переменной в точке  по отношению к M0

Задача вычисления скорости прямолинейного движения точки
Рекомендуемая литература. а) основная литература: 1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М. Наука, 1966. 2. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М. Наука, 1982. 3. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М. Наука, 1969. 4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М. Наука, 1984. 5. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. - М. Физматлит, 1995. 6. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - М. Наука, 1992; - М. Интеграл-пресс, 1998. 7. Розенблюм А.А. Интегрирование дифференциальных уравнений операторным методом. Методическое пособие. - Горький. ГГУ, 1980. 8. Петровский И.Г., Лекции по теории интегральных уравнений. - М.: Гостехиздат, 1951.