Типовой расчет по математике Производная показательной и логарифмической функции Производная степенной функции Исследование функций с помощью производных Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Теорема Остроградского-Гаусса

Обозначим через G трехмерное тело, ограниченное кусочно-непрерывной, гладкой, замкнутой поверхностью S с внешней нормалью. Предположим, что задано векторное поле

компоненты которого имеют непрерывные частные производные. Согласно формуле Остроградского-Гаусса, где через обозначена дивергенция векторного поля (она обозначается также символом ). Символ указывает, что поверхностный интеграл вычисляется по замкнутой поверхности. Формула Остроградского-Гаусса связывает поверхностные интегралы второго рода с соответствующими тройными интегралами. Данную формулу можно записать также в координатной форме: В частном случае, полагая , получаем формулу для вычисления объема тела G:

Пример Вычислить поверхностный интеграл , где S − внешне ориентированная поверхность сферы, заданная уравнением .

Решение. Используя формулу Остроградского-Гаусса, можно записать Вычислим полученный тройной интеграл в сферических интегралах.

Определение: Криволинейного интеграла:

 

  

Число I называется криволинейным интегралом 1-ого рода,

  если: X=X(tY=Y(t 

 

  Составляем интегральную сумму:

 сумма Дарбу

 

  Замечание: Криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интегрирования. 

 

Задача вычисления скорости прямолинейного движения точки
8.1 Основная литература. Учебники [1] Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М. Изд-во физ.-мат. лит-ры. - 1958. [2] Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М. Изд-во "УРСС". - 2003. [3] Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М. Изд-во "Наука". - 1974. [4] Каменев И.В. Задачи и теоремы из обыкновенных дифференциальных уравнений (в трёх частях). 8.2 Дополнительная литература [5] Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М. Изд-во "Наука". - 1975. [6] Каменев И.В. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка (асимптотическое поведение устойчивости решений).