Типовой расчет по математике Производная показательной и логарифмической функции Производная степенной функции Исследование функций с помощью производных Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Теорема Остроградского-Гаусса

Пример Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность параллелепипеда, образованного плоскостями x = 0, x = 1, y = 0, y = 2, z = 0, z = 3 (рисунок 4).

Решение. Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса:

Пример Найти интеграл , где S − внешняя поверхность пирамиды (рисунок 5).

Решение.
Рис.5
Рис.6

Применяя формулу Остроградского-Гаусса можно записать искомый поверхностный интеграл в виде Вычислим тройной интеграл. Область интегрирования в плоскости xy показана на рисунке 6. Полагая z = 0, получаем Следовательно, область D можно представить в виде множества Решая неравенство относительно переменной z, получаем Тогда интеграл равен

Если такие суммы Дарбу стремятся к одному и тому же числу I,

если  , то это число I называется общим 

криволинейным интегралом второго рода.

 

Определения:

X=X (t) Эта кривая называется гладкой если: 

Y=Y (t) *она непрерывна

  *непрерывна частная производная   и 

Кривая  -- кусочно-гладкая , если *она непрерывная, * и  имеют конечное число точек разрыва.

Если кривая  имеет конечную длину, то она является спрямляемой.

  Любая кусочно-непрерывная кривая является спрямляемой.

Точка называется особой, если в этой точке   и  одновременно = 0.

Задача вычисления скорости прямолинейного движения точки
8.1 Основная литература. Учебники [1] Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М. Изд-во физ.-мат. лит-ры. - 1958. [2] Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М. Изд-во "УРСС". - 2003. [3] Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М. Изд-во "Наука". - 1974. [4] Каменев И.В. Задачи и теоремы из обыкновенных дифференциальных уравнений (в трёх частях). 8.2 Дополнительная литература [5] Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М. Изд-во "Наука". - 1975. [6] Каменев И.В. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка (асимптотическое поведение устойчивости решений).