Типовой расчет по математике Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Вычисление объема тела Вычисление длин дуг

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Физические приложения поверхностных интегралов

Пример Вычислить момент инерции однородной сферической оболочки x2 + y2 + z2 = 1 (z ≥ 0) с плотностью μ0 относительно оси Oz.

Решение. Момент инерции Iz находится по формуле: где поверхность S − это полусфера x2 + y2 + z2 = 1 (z ≥ 0). Поскольку поверхность верхней полусферы описывается функцией , то элемент площади равен Тогда поверхностный интеграл выражается через двойной интеграл в виде где область интегрирования D(x,y) представляет собой круг . Переходя к полярным координатам, получаем FIX Для вычисления последнего интеграла сделаем замену: . Если r = 0, то t = 1. Если r = 1, то, наоборот, t = 0. В результате можно окончательно вычислить момент инерции:

Пример . Найти площадь той части поверхности цилиндра  которая вырезается цилиндром

 

 Рис.22 Рис.23

Решение. На рис.23 изображена  часть искомой поверхности. Уравнение поверхности имеет вид ; поэтому

Область интегрирования представляет собой четверть круга, т.е. определяется условиями

Следовательно, 

Тройные интегралы в сферических координатах
Литература 1. Гильмуллин, М.Ф. История математики / М.Ф. Гильмуллин. - Елабуга: Изд-во ЕГПУ, 2009. - 212 с. 2. Гиндикин, С.Г. Рассказы о физиках и математиках / С.Г. Гиндикин. - М.: Изд-во МЦНМО, 2006. - 464 с. 3. Дорофеева, А.В. Страницы истории на уроках математики / А.В. Дорофеева. - М.: Просвещение, 2007. - 96 с. 4. Колягин, Ю.М. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль / Ю.М. Колягин. - М.: Просвещение, 2001. - 318 с.