Типовой расчет по математике Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Вычисление объема тела Вычисление длин дуг

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Физические приложения поверхностных интегралов

Пример Найти силу притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ0 радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m, расположенной в начале координат.

Решение. Рассмотрим точку M(x,y,z) полусферы, которая принадлежит малому участку поверхности dS (рисунок 5). Силу притяжения между элементом поверхности dS и массой m можно записать в виде где G − гравитационная постоянная, − единичный вектор, направленный из точки O в точку M. Так как , то можно записать После интегрирования по поверхности полусферы получаем следующие выражения для компонентов силы притяжения: В сферических координатах уравнение полусферы записывается в виде где . Известно, что элемент площади для сферы равен . Тогда компоненты силы притяжения будут равны Заметим, что результат очевиден вследствие симметрии и однородности поверхности. Поэтому, результирующая сила направлена вдоль оси Oz.
Рис.5
Рис.6

1. Потенциальные поля

Определение: Если это поле можно представить в виде B=grad U

Утверждение 1: Криволинейный интеграл

 


Утверждение 2:

 


Утверждение 3: сущ. U-потенц.

 


Утверждение 4:

 

Утверждение 5: Является достаточным, но не необходимым. Оно необходимо, если функция непрерывна со всеми своими частными производными (термин “односвязная область”)

Тройные интегралы в сферических координатах
Литература 1. Гильмуллин, М.Ф. История математики / М.Ф. Гильмуллин. - Елабуга: Изд-во ЕГПУ, 2009. - 212 с. 2. Гиндикин, С.Г. Рассказы о физиках и математиках / С.Г. Гиндикин. - М.: Изд-во МЦНМО, 2006. - 464 с. 3. Дорофеева, А.В. Страницы истории на уроках математики / А.В. Дорофеева. - М.: Просвещение, 2007. - 96 с. 4. Колягин, Ю.М. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль / Ю.М. Колягин. - М.: Просвещение, 2001. - 318 с.