Типовой расчет по математике Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Вычисление объема тела Вычисление длин дуг

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Физические приложения поверхностных интегралов

Пример Оценить силу давления, действующую на дамбу, схематически показанную на рисунке 6 и представляющую собой резервуар воды шириной W и высотой H.

Решение. В условиях гидростатического равновесия давление на поверхность дамбы зависит от координаты z в соответствии с формулой где ρ − плотность воды, g − ускорение свободного падения. Полная сила давления, действующая на плотину, будет равна Вектор показывает направление действия силы . Абсолютное значение силы равно

Пример Вязкая жидкость течет в цилиндрической трубе радиусом R со скоростью (м·с−1), где − единичный вектор, направленный вдоль оси трубы в сторону потока, r − расстояние от оси, C − некоторая константа (рисунок 7). Вычислить поток жидкости через поперечное сечение трубы.

Решение. Для определения потока жидкости необходимо вычислить поверхностный интеграл Так как векторы и сонаправлены, то поток равен Переходя к полярным координатам, получаем Последний интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям. Полагая можно записать Таким образом, поток жидкости равен
Рис.7
Рис.8

Пример Определить электрическое поле бесконечной пластины с однородно распределенным зарядом плотностью σ.

Решение. В силу симметрии системы вектор напряженности электрического поля должен быть перпендикулярен поверхности, а величина напряженности должна быть одинакова во всех точках, равноудаленных от пластины. Рассмотрим условную гауссовскую поверхность в форме цилиндра с поперечным сечением S и высотой 2H (рисунок 8). Поток электрического смещения отличен от нуля лишь на основаниях цилиндра. Следовательно, , где E − электрическое поле в основаниях цилиндра. Полный заряд внутри цилиндрической поверхности равен . Тогда по теореме Гаусса получаем

 


P(x,y,z(x,y))

 

 

 

  If Q=0

Следствие: Чему равен поток ротора через любую замкнутую поверхность

Div=0 => если нет источников, то =0.

  Общий поток =0, у зависимости нет ни ист., ни стоков.

1.     
 

2.       

Доказать можно любым способом, достаточно знать, что такое по определению rot, div, grad

 

Тройные интегралы в сферических координатах
Литература 1. Гильмуллин, М.Ф. История математики / М.Ф. Гильмуллин. - Елабуга: Изд-во ЕГПУ, 2009. - 212 с. 2. Гиндикин, С.Г. Рассказы о физиках и математиках / С.Г. Гиндикин. - М.: Изд-во МЦНМО, 2006. - 464 с. 3. Дорофеева, А.В. Страницы истории на уроках математики / А.В. Дорофеева. - М.: Просвещение, 2007. - 96 с. 4. Колягин, Ю.М. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль / Ю.М. Колягин. - М.: Просвещение, 2001. - 318 с.