Типовой расчет по математике Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Вычисление объема тела Вычисление длин дуг

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Физические приложения тройных интегралов

Пример Найти центроид однородного полушара радиусом R.

Решение. Введем систему координат таким образом, чтобы полушар был расположен при z ≥ 0 и имел центр в начале координат (рисунок 1).
Рис.1
Рис.2
В данной системе координат будем искать координаты центроида (центра тяжести) тела. Очевидно, что в силу симметрии Вычислим координату центра тяжести по формуле Поскольку полушар однородный, то полагаем ρ(x,y,z) = ρ0. Тогда В знаменателе через V обозначен объем полушара, равный Остается вычислить тройной интеграл . Для этого перейдем к сферическим координатам. При этом радиальную координату будем обозначать через r − чтобы не путать с плотностью ρ. Получаем: Таким образом, координата центра тяжести равна
Литература 1. Метельский, Н.В. Очерки по истории методики математики / Н.В. Метельский. - Минск, 1968. - 340 с. 2. Полякова, Т.С. История математического образования в России / Т.С. Полякова. - М.: Изд-во МГУ, 2002. - 624 с. 3. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А.П. Юшкевича - М.: Просвещение, 1976. - 318 с. 4. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А.П. Юшкевича - М.: Просвещение, 1977. - 224 с. 5. Черкасов, Р.С. История отечественного школьного математического образования / Р.С. Черкасов // Математика в школе. - 1997. - № 2-4. 6. Шеретов, В.Г. Российской математике - триста лет: историко-математические очерки / В.Г. Шеретов, С.Ю. Щербакова. - Тверь: Фактор, 2003. - 84 с.
Тройные интегралы в сферических координатах