Типовой расчет по математике Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Вычисление объема тела Вычисление длин дуг

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Физические приложения тройных интегралов

Пример Найти массу шара радиуса R, плотность γ которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

Решение. По условию, плотность γ задана соотношением γ = ar2, где a − некоторая постоянная, r − расстояние от центра. Массу шара удобно вычислить в сферических координатах:

Пример Найти момент инерции прямого круглого однородного конуса относительно его оси. Конус имеет радиус основания R, высоту H и общую массу m (рисунок 3).

Рис.3
Решение. Момент инерции тела относительно оси Oz выражается формулой Поскольку конус является однородным, то плотность γ(x,y,z) = γ0 можно вынести за знак интеграла: Перейдем к цилиндрическим координатам с помощью замены Новые переменные изменяются в пределах Тогда момент инерции равен Выразим плотность γ0 через известную массу конуса m. Так как то, следовательно Окончательно получаем Интересно, что момент инерции конуса не зависит от его высоты.
Литература 1. Метельский, Н.В. Очерки по истории методики математики / Н.В. Метельский. - Минск, 1968. - 340 с. 2. Полякова, Т.С. История математического образования в России / Т.С. Полякова. - М.: Изд-во МГУ, 2002. - 624 с. 3. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А.П. Юшкевича - М.: Просвещение, 1976. - 318 с. 4. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А.П. Юшкевича - М.: Просвещение, 1977. - 224 с. 5. Черкасов, Р.С. История отечественного школьного математического образования / Р.С. Черкасов // Математика в школе. - 1997. - № 2-4. 6. Шеретов, В.Г. Российской математике - триста лет: историко-математические очерки / В.Г. Шеретов, С.Ю. Щербакова. - Тверь: Фактор, 2003. - 84 с.
Тройные интегралы в сферических координатах