Типовой расчет по математике Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Вычисление объема тела Вычисление длин дуг

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Теорема Стокса

Пример Используя теорему Стокса, найти криволинейный интеграл . Кривая C представляет собой пересечение цилиндра и плоскости .

Решение. Обозначим через S часть плоскости, вырезаемую цилиндром. Пусть обход кривой C осуществляется против часовой стрелки, если смотреть из конечной точки вектора нормали , координаты которого равны Так как , то можно записать Далее, применяя формулу Стокса, находим Проекция поверхности S на плоскость xy представляет собой круг радиуса a. Поэтому, записывая уравнение плоскости в виде и используя формулу получаем

Вычисление двойных интегралов.

При вычислении двойного интеграла  элемент площади  нам удобно представить в ином виде. Будем разбивать область интегрирования D в плоскости Oxy на частичные области посредством двух систем координатных линий: x=const, y=const. Этими линиями служат прямые, параллельные соответственно оси Oy и оси Ox, а частичными областями - прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат. Ясно, что площадь каждой частичной области   будет равна произведению соответствующих  и . Поэтому элемент площади  мы запишем в виде  т.е. элемент площади в декартовых координатах является произведением дифференциалов независимых переменных. Мы имеем

 .  (*)

Литература 1. Метельский, Н.В. Очерки по истории методики математики / Н.В. Метельский. - Минск, 1968. - 340 с. 2. Полякова, Т.С. История математического образования в России / Т.С. Полякова. - М.: Изд-во МГУ, 2002. - 624 с. 3. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А.П. Юшкевича - М.: Просвещение, 1976. - 318 с. 4. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А.П. Юшкевича - М.: Просвещение, 1977. - 224 с. 5. Черкасов, Р.С. История отечественного школьного математического образования / Р.С. Черкасов // Математика в школе. - 1997. - № 2-4. 6. Шеретов, В.Г. Российской математике - триста лет: историко-математические очерки / В.Г. Шеретов, С.Ю. Щербакова. - Тверь: Фактор, 2003. - 84 с.
Тройные интегралы в сферических координатах