Типовой расчет по математике Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Вычисление объема тела Вычисление длин дуг

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Теорема Стокса

Пример Вычислить криволинейный интеграл , используя теорему Стокса. Кривая C имеет форму эллипса и определяется уравнениями (рисунок 2 выше).

Решение. Пусть поверхность S − это часть плоскости z = 1, ограниченная эллипсом. Очевидно, единичный вектор нормали к данной поверхности будет . Поскольку то ротор поля равен В соответствии с теоремой Стокса получаем Двойной интеграл в последней формуле равен площади эллипса. Поэтому интеграл равен

Пример Используя теорему Стокса, вычислить криволинейный интеграл . Кривая C представляет собой треугольник с вершинами A(2,0,0), B(0,2,0), D(0,0,2) (рисунок 3).

Решение. Пусть S будет плоскость треугольника ABD. Ориентация поверхности S и направление обхода контура C показаны ниже на рисунке 3. Определим сначала нормальный вектор : Тогда и, следовательно, В нашем случае , и ротор равен Применяя формулу Стокса, находим Здесь двойной интеграл равен площади треугольника ABD, которая составляет Таким образом, интеграл имеет значение
Рис.3
Рис.4
Литература 1. Метельский, Н.В. Очерки по истории методики математики / Н.В. Метельский. - Минск, 1968. - 340 с. 2. Полякова, Т.С. История математического образования в России / Т.С. Полякова. - М.: Изд-во МГУ, 2002. - 624 с. 3. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А.П. Юшкевича - М.: Просвещение, 1976. - 318 с. 4. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А.П. Юшкевича - М.: Просвещение, 1977. - 224 с. 5. Черкасов, Р.С. История отечественного школьного математического образования / Р.С. Черкасов // Математика в школе. - 1997. - № 2-4. 6. Шеретов, В.Г. Российской математике - триста лет: историко-математические очерки / В.Г. Шеретов, С.Ю. Щербакова. - Тверь: Фактор, 2003. - 84 с.
Тройные интегралы в сферических координатах