Типовой расчет по математике Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Вычисление объема тела Вычисление длин дуг

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Теорема Стокса

Пример Найти интеграл с использованием теоремы Стокса. Кривая C образована пересечением параболоида с плоскостью . (рисунок 4).

Решение. Пусть S будет часть плоскости, вырезанная параболоидом. Ориентация поверхности S и направление обхода контура C показаны на рисунке 4. Из уравнения плоскости найдем вектор нормали : Так как то ротор векторного поля равен По теореме Стокса находим Поскольку , то интеграл становится равным Чтобы завершить расчеты, нужно определить двойной интеграл , то есть найти площадь поверхности S. Явное уравнение плоскости имеет вид . Поэтому, по формуле где D(x,y) − это проекция S на плоскость xy, получаем Определим область интегрирования D(x,y). Решая систему уравнений находим Как видно, область D(x,y) − это круг радиуса с центром в точке . Тогда площадь области D(x,y) равна Отсюда находим окончательное значение интеграла:
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 1. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков "АЛГЕБРА. Учебник для 9 класса с углублённым изучением математики" Москва 2006 год, 5-е издание - М.:Мнемозина, 439 страниц, иллюстрации. 2. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич "Сборник задач по алгебре 8-9 классы" Москва "Просвещение" 1994 год, 271 страница.
Тройные интегралы в сферических координатах