Типовой расчет по математике Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Вычисление объема тела Вычисление длин дуг

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Поверхностные интегралы первого рода

Пример Вычислить поверхностный интеграл , где S − часть плоскости , лежащая в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).

Решение. Запишем уравнение плоскости в виде Найдем частные производные Применяя формулу поверхностный интеграл можно выразить через двойной интеграл: Область интегрирования D представляет собой треугольник, показанный выше на рисунке 2. Вычисляем окончательно заданный интеграл:

  Пример.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Рассмотрим теперь несколько примеров, связанных с вычислением двойных интегралов.

Примеры. 1) Найдём двойной интеграл от функции

по прямоугольной области D

 

Геометрически I выражает объём четырёхугольной призмы

(рис.12), основанием которой служит прямоугольник D, усечённый плоскостью .

Возьмём повторный интеграл сначала по y, затем по x:

То же самое получим, интегрируя сначала по x, а затем по y:

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 1. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков "АЛГЕБРА. Учебник для 9 класса с углублённым изучением математики" Москва 2006 год, 5-е издание - М.:Мнемозина, 439 страниц, иллюстрации. 2. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич "Сборник задач по алгебре 8-9 классы" Москва "Просвещение" 1994 год, 271 страница.
Тройные интегралы в сферических координатах