Типовой расчет по математике Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Вычисление объема тела Вычисление длин дуг

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Поверхностные интегралы первого рода

Пример Найти интеграл , где поверхность S − часть сферы , лежащая в первом октанте.

Решение. Данный интеграл удобно вычислять в сферических координатах. Элемент площади в сферических координатах имеет вид . Поскольку , то интеграл можно записать в следующей форме: Область интегрирования определяется как Следовательно, интеграл равен

Пример Найти интеграл , где S − часть цилиндрической поверхности, заданной параметрически в виде .

Решение. Вычислим частные производные: и их векторное произведение Тогда, элемент площади заданной поверхности равен Теперь можно вычислить поверхностный интеграл:

Вычислим объём V тела, ограниченного поверхностью и плоскостью Oxy.

Заданное тело представляет собой сегмент эллиптического

параболоида, расположенный над плоскостью Оху (рис.15). Параболоид пересекается с плоско­стью Оху по эллипсу

Следовательно,  задача состоит в отыскании объема цилиндрического тела, имеющего своим основанием внутренность указанного эллипса и ограниченного параболоидом

В силу симметрии тела относи­тельно плоскостей Oxz и Oyz можно вычислить объем четвертой его части, заключенной в первом координатном угле. Этот объем равен двойному интегралу, распространенному по области, заданной условиями т. е. по четверти эллипса. Интегрируя сначала по у, затем по х, получим

Подстановка   даёт

откуда

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 1. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков "АЛГЕБРА. Учебник для 9 класса с углублённым изучением математики" Москва 2006 год, 5-е издание - М.:Мнемозина, 439 страниц, иллюстрации. 2. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич "Сборник задач по алгебре 8-9 классы" Москва "Просвещение" 1994 год, 271 страница.
Тройные интегралы в сферических координатах