Типовой расчет по математике Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Вычисление объема тела Вычисление длин дуг

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Поверхностные интегралы второго рода

Пример Оценить поток векторного поля через коническую поверхность , ориентированную внешней стороной.

Решение. Поверхность конуса можно описать вектором : Область интегрирования D(x,y) представляет собой круг . Найдем векторный элемент площади , перпендикулярный поверхности и направленный во внешнюю сторону. Определим частные производные: Тогда и векторный элемент равен Векторное поле на поверхности конуса можно записать в виде Отсюда следует, что поток векторного поля через поверхность S (или, другими словами, поверхностный интеграл II рода) равен Значение последнего интеграла легко вычисляется в полярных координатах.

Пример. Вычислить поверхность  сферы

 

Решение. Вычислим поверхность верхней половины сферы  (рис.22). В этом случае

Следовательно, подынтегральная функция примет вид

Область интегрирования определяется условием . Таким образом, на основании формулы (4) будем иметь

Для вычисления полученного двойного интеграла перейдём к полярным координатам. В полярных координатах граница области интегрирования определяется уравнением   Следовательно,

Список основной литературы 1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учебное пособие: М.; Лаборатория Базовых Знаний, 2001. 2. Волков Е.А.Численные методы:Учебное пособие: М.;Наука, 2005. 3. Демидович Б.М., Марон И.А. Основы вычислительной математики. Учебное пособие: М., Лань, 2006. 4. Мастяева И.Н., Семенихина О.Н. Численные методы: Учебное пособие; М; МЭСИ, 2011. 5. Мастяева И.Н., Семенихина О.Н. Численные методы: Практикум; М; МЭСИ, 2011. 6. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учебное пособие:М.; Наука, 2007.
Тройные интегралы в сферических координатах