Типовой расчет по математике Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Вычисление объема тела Вычисление длин дуг

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Тройные интегралы в декартовых координатах

Пример Выразить тройной интеграл через повторные интегралы шестью различными способами. Область U расположена в первом октанте и ограничена цилиндром x2 + z2 = 4 и плоскостью y = 3 (рисунок 7). Найти значение интеграла.

Рис.7
Рис.8
Решение. Если порядок интегрирования имеет вид "z-y-x", то повторный интеграл выглядит как Аналогично записывается повторный интеграл для последовательности интегрирования "z-x-y": Теперь рассмотрим случай "x-y-z", т.е. когда первый внутренний интеграл берется по переменной x. Тогда Поскольку проекция тела на плоскость Oyz представляет собой прямоугольник (рисунок 8), то меняя порядок интегрирования по y и z, получаем Наконец повторный интеграл при интегрировании в порядке "y-x-z" (начиная с внутреннего интеграла) имеет вид: Последний шестой вариант записывается в виде: Мы можем использовать любой из шести повторных интегралов чтобы вычислить значение тройного интеграла. Например, используя последний интеграл, получаем: Сделаем замену: Находим окончательный ответ: Нетрудно проверить, что данное значение в точности равно 1/4 объема цилиндра, по которому проводилось интегрирование.
Дополнительная литература 1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - Т.1. - М.: Наука, 1966; - Т.2. - М.: Физматгиз, 1962. 2. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. - М: Наука, 1967. 3. Калиткин Н.Н., Численные методы. - М.: Наука, 1978. 4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1968. 5. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М: Наука, 1989. 6. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - М: Физматгиз, 1963.
Тройные интегралы в сферических координатах