Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Определение производной

Рассмотрим функцию f(x), область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки x0. Тогда функция f(x) является дифференцируемой в точке x0, и ее производная определяется формулой

Для производной используются обозначения: Для нахождения производной функции f(x) в точке x0 на основе определения следует выполнить следующие действия:

Пример Используя определение, найти производную функции .

Решение. По определению производной

Вычислим двойной интеграл

 

по области D, ограниченной линиями y=x и y=x2. Область D

изображена на рис.13. Интегрируя сначала по y, а потом по x,

получаем

Правильность результата можно проверить, изменив порядок интегрирования :

Замена переменной в неопределенном интеграле

Если функция f(x) непрерывна, а функция j(t) имеет непрерывную производную j¢(t), то имеет место формула

 ò f(j(t))j¢(t) dt = ò f(x) dx, где x = j(t).

Можно привести примеры вычисления интеграла с помощью перехода от левой части к правой в этой формуле, а можно привести примеры обратного перехода.

Примеры. 1. I = ò cos(t3) t2 dt.  Пусть t3 = x, тогда dx = 3t2dt или t2dt = dx/3.

  .

2. . Пусть ln t = x, тогда dx = dt/t.

3. . Пусть x = cos t, тогда dx = - sint dt, и

.

4. . Пусть x = sin t, тогда dx = cos dt, и

 .

6. Райков Д.А. Одномерный математический анализ. М.: Высшая школа, 1982. 7. Зорич В.А. Математический анализ. М.: Наука,1982, ч.1. 8. Будак О.М. ,Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1967. 608 с. 9. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. М.: Наука,1986. 10. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. М.: Наука,1995.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций