Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Производная показательной и логарифмической функции

Предполагается, что основание a показательной и логарифмической функции больше нуля и не равно единице: a > 0, a ≠ 1. Производная показательной функции y = ax с основанием a определяется формулой

где ln a - натуральный логарифм a, т.е. логарифм a по основанию е, приблизительно равному 2,718281828... (2.7, затем два раза год рождения Л.Н.Толстого). Знаменитое трансцендентное число е можно вычислить с любой степенью точности с помощью различных компьютерных алгоритмов. Если a = е, то получаем красивый результат в виде Производная логарифмической функции y = loga x определяется выражением Для натурального логарифма y = ln x производная равна

Пример Найти производную функции .

Решение. Дифференцируя данную показательную функцию как сложную, находим

Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.

а) Объём.

 Как мы знаем, объем V тела, ограничен­ного поверхностью , где - неотрицательная функ­ция, плоскостью  и цилиндрической поверхностью, направ­ляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси Oz, равен двойному интегралу от функции  по области D :

Пример . Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x=0, у=0, х+у+z=1, z=0 (рис. 17).

 

  Рис.17 Рис.18

Решение.  D - заштрихованная на рис. 17 треугольная область в плоскости Оху, ограниченная прямыми x=0, у=0, x+y=1. Расставляя пределы в двойном интеграле, вычислим объем:

Итак,   куб. единиц.

Замечание 1. Если тело, объем которого ищется, ограни­чено сверху поверхностью  а снизу—поверхностью , причем проекцией обеих поверхностей на пло­скость Оху является область D, то объем V этого тела равен разности объемов двух «цилиндрических» тел; первое из этих цилиндрических тел имеет нижним основанием область D, а верх­ним - поверхность   второе тело имеет нижним осно­ванием также область D, а верхним - поверхность  (рис.18).

Поэтому объём V равен разности двух двойных интегралов :

или

  (1)

Легко, далее, доказать, что формула (1) верна не только в том случае, когда  и  неотрицательны, но и тогда, когда  и - любые непрерывные функции, удовлетворяющие соотношению

Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G = F + C, где C – число.

Доказательство.

Возьмем производную от разности G – F: (G – F)¢ = G¢ – F¢ =
= f – f = 0. Отсюда следует: G – F = C, где C ¾ число, то есть G = F + C.

Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b) называется неопределенным интегралом и обозначается òf(x)dx. Если F(x) – первообразная для f(x), то òf(x)dx = F(x) + C, где C – произвольное число.

Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.

Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F¢(x) = f(x) соответствует формула òf(x) dx = F(x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов:

1) ò dx = x + C;

 7) ò cosx dx = sinx + C;

2) ò xadx=(a¹1);

 8) ;

3) ;

 9) ;

4) ò exdx =ex+C;

10)

5) ò axdx =axlogae+C (a¹1) ;

11)

6) ò sinx dx=-cosx + C;

12) .

6. Райков Д.А. Одномерный математический анализ. М.: Высшая школа, 1982. 7. Зорич В.А. Математический анализ. М.: Наука,1982, ч.1. 8. Будак О.М. ,Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1967. 608 с. 9. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. М.: Наука,1986. 10. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. М.: Наука,1995.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций