Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Производные гиперболических функций

Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку гиперболические функции являются комбинациями ex и e−x. Например, гиперболические синус и косинус определяются как

Производные этих функций имеют вид Обратите внимание на сходство с производными тригонометрических функций и на различие в знаках! Ниже приводятся производные других (прямых и обратных) гиперболических функций.

Пример Найти производную функции .

Решение. Дифференцируя как сложную функцию, находим

Интегрирование элементарных дробей.

 Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

 I.  III. 

  II.  IV. 

m, n – натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и b2 – 4ac <0.

 Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

II. 

Производные высших порядков.

Может оказаться что функция f¢(x), называемая первой производной, тоже имеет производную (f¢(x))¢. Эта производная называется второй производной функции f(x) и обозначается f¢¢(x). Если f есть координата движущейся точки и является функцией времени, то мгновенная скорость точки в момент времени t равна f¢(t), а ускорение равно f¢¢(t).

Вторая производная также может быть функцией, определенной на некотором множестве. Если эта функция имеет производную, то эта производная называется третьей производной функции f(x) и обозначается f¢¢¢(x).

Если определена n-я производная f (n)(x) и существует её произ­водная, то она называется (n+1)-й производной функции f(x): f (n + 1)(x) = (f(n)(x))¢.

Все производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.

Основная литература. 1. Шипачев В.С. Высшая математика.-М., Высшая школа, 2002. 2. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике.-М., Высшая школа, 2006. 3. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. - М.: Наука, 2002 4. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М., Высшая школа, 2002. 5. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М., Высшая школа, 2001. 6. Крупин В.Г., Туганбаев А.А. Теория вероятностей. - М., Факториал, 2006.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций