Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Производная степенной функции

Если f(x) = xp, где p - действительное число, то

Если показатель степени является отрицательным числом, т.е. f(x) = x−p, то Производная полинома. Пусть . Тогда где an, an − 1,…, a1, a0, n − постоянные величины. В частности, для квадратичной функции где a, b, c − постоянные коэффициенты. Производная иррациональной функции. Если , то В частности, если , то

Пример Вычислить производную функции .

Решение. Применим правило суммы, Вынесем постоянные множители за знак производной Найдем производные степенных функций Окончательно получаем

Нахождение производной функции y = f(x) называется дифференцированием.

  Если для любого числа x из открытого промежутка (a, b) можно вычислить f¢(x), то функция f(x) называется дифференцируемой на промежутке (a, b).

Геометрический смысл производной заключается в том, что произ­водная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Производная  это скорость изменения функции в точке x. Из определения производной следует, что f¢ (x) » Df / Dx, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше Dx. Производная f¢ (x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между Df и Dx.

Производная функции f(x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x0, но не иметь в этой точке производной. Такую точку назовём угловой точкой графика функции или точкой излома. Графические примеры приведены на рисунке 2.

 

Так функция y = êê не имеет производной в точке x = 0, хотя является непрерывной в этой точке.

Ниже приводится таблица производных элементарных функций.

f(x)

f(x)

f(x)

C

0

cosx

-sinx

x

1

lnx

1/x

tgx

1/cos2x

xn

nxn-1

ax

axlna

arcsina

1/(2)

arccosa

-

1/x

-1 / x2

sinx

cosx

arctgx

1/(1+x2)

Основная литература. 1. Шипачев В.С. Высшая математика.-М., Высшая школа, 2002. 2. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике.-М., Высшая школа, 2006. 3. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. - М.: Наука, 2002 4. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М., Высшая школа, 2002. 5. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М., Высшая школа, 2001. 6. Крупин В.Г., Туганбаев А.А. Теория вероятностей. - М., Факториал, 2006.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций