Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Производные гиперболических функций

Пример Вычислить производную функции .

Решение. Производная постоянной величины равна нулю.

Пример Найти производную функции .

Решение. По правилу суммы Вынося постоянные множители за знак производной и вычисляя производные степенных функций, получаем

  Пример.

 Пример.

  Пример.

  Пример.

Рассечем рассматриваемое цилиндрическое тело произвольной плоскостью, параллельной плоскости Oyz, т.е. x=const,  (рис). В сечении мы получим криволинейную тра­пецию PMNR, площадь которой выражается интегралом от функции , рассматри­ваемой как функция одной пе­ременной у, причем у изменя­ется от ординаты точки P до ординаты точки R. Точка P есть точка входа прямой х =const (в плоскости Оху) в область D, а R - точка ее выхода из этой области. Из уравнений линий АВС и АЕС следует, что ординаты этих точек при взятом х соот­ветственно равны  и .

Следовательно, интеграл 

 

  дает выражение для площади плоского сечения PMNR. Ясно, что величина этого интеграла зависит от выбранного значения х; другими словами, площадь рассматриваемого поперечного сечения является некоторой функцией от х, мы обозначим ее через S(х):

Согласно формуле (**) объем всего тела будет равен интег­ралу от S(x) в интервале изменения .( При выводе формулы (**) мы считали, что S(*) есть геометриче­ская площадь поперечного сечения. Поэтому дальнейшие рассуждения справедливы, строго говоря, лишь для случая . Основываясь на уточненном геометрическом смысле двойного интеграла, нетрудно до­казать, на чем мы не будем останавливаться, что получающаяся формула для вычисления двойного интеграла будет верна для любых функций.

Приведем теперь основные свойства производной.

1. Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке.

2. Если существует f¢ (x) , и С ‑ произвольное число, то функция  имеет производную: (Cf(x))¢ = Cf¢ (x).

3. Если существуют f¢ (x) и g¢ (x), то функция S(x) = f(x) + g(x) имеет производную: S¢ (x) = f¢ (x) + g¢ (x).

4. Если существуют f¢ (x) и g¢ (x), то функция P(x) = f(x)g(x) имеет производную: P¢ (x) = f¢ (x)g(x) + f(x)g¢ (x).

5. Если существуют f¢ (x) и g¢ (x) и при этом g(x) ¹ 0, то функция D(x) = f(x) / g(x) имеет производную: D¢ (x) = (f¢ (x) g(x)  f(x) g¢ (x)) / g2(x).

В любом курсе математического анализа доказывается теорема о производной сложной функции. Мы ограничимся лишь ее формулировкой.

Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) имеет в точке x производную F¢ (x) = f¢ (z) g¢ (x).

Приведем примеры вычисления производной сложной функции.

 

Основная литература. 1. Шипачев В.С. Высшая математика.-М., Высшая школа, 2002. 2. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике.-М., Высшая школа, 2006. 3. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. - М.: Наука, 2002 4. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М., Высшая школа, 2002. 5. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М., Высшая школа, 2001. 6. Крупин В.Г., Туганбаев А.А. Теория вероятностей. - М., Факториал, 2006.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций