Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Производная произведения и частного функций

Производная произведения функций. Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и Внимание: Производная произведения двух функций НЕ РАВНА произведению производных этих функций! Производная частного функций. Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле

Пример Найти производную функции .

Решение. Используем правило для вычисления производной частного.

Пример Найти производную cтепенной функции с отрицательным показателем .

Решение. Запишем функцию в виде и воспользуемся формулой для производной частного. Получаем

Таким образом, можно сказать, что объем цилиндрического тела, ограниченного плоскостью Oxy, поверхностью  и цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz, выражается двойным интегралом от функции , взятым по области, являющейся основанием цилиндрического тела:

.

Аналогично теореме существования обыкновенного интеграла имеет место следующая теорема.

Теорема существования двойного интеграла.

Если функция непрерывна в области D, ограниченной замкнутой линией, то её n-я интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей. Этот предел, т.е. двойной интеграл , не зависит от способа разбиения области D на частичные области и от выбора в них точек Pi.

Двойной интеграл, разумеется, представляет собой число, зависящее только от подынтегральной функции и области интегрирования и вовсе не зависящее от обозначений переменных интегрирования, так что, например,

.

Далее мы убедимся а том, что вычисление двойного интеграла может быть произведено посредством двух обыкновенных интегрирований.

Величины r1 и r2 в формулах (2) при уменьшении Dx в k раз уменьшаются более чем в k раз, что можно видеть, сравнивая рисунки 3 и 4, и говорят, что r1 и r2 стремятся к нулю быстрее, чем Dx .

Назовем функцию b (z) бесконечно малой в точке z = z0, если .

Пусть функции b (z) и g (z) являются бесконечно малыми в точке z = z0.. Функция b (z) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция g (z), если .

Величины r1 и r2 в формулах (2) являются функциями аргумента Dx, бесконечно малыми в точке Dx = 0. Можно показать, что. Это означает, что функции r1(Dx) и r2(Dx) являются бесконечно малыми функциями более высокого порядка, чем Dx, в точке Dx = 0.

Таким образом приращение функции y = f(x) в точке, в которой существует её производная, может быть представлено в виде

 Dy = f¢(x) Dx +b (Dx),

где b (Dx) ‑ бесконечно малая функция более высокого порядка, чем Dx, в точке Dx = 0.

Основная литература. 1. Шипачев В.С. Высшая математика.-М., Высшая школа, 2002. 2. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике.-М., Высшая школа, 2006. 3. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. - М.: Наука, 2002 4. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М., Высшая школа, 2002. 5. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М., Высшая школа, 2001. 6. Крупин В.Г., Туганбаев А.А. Теория вероятностей. - М., Факториал, 2006.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций