Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Производная произведения и частного функций

Пример Вычислить производную y(x)=tg x используя формулу производного частного.

Решение. Запишем тангенс в виде . Тогда Поскольку , производная равна

Пример Пусть . Продифференцировать данную функцию, не используя производную сложной функции.

Решение. Представим функцию в виде y(x)=sinxsinx. По формуле производной произведения Так как , получаем

Пример Найти формулу для производной произведения трех функций.

Решение. Пусть . Предварительно сгруппировав, применим формулу производной произведения двух функций: Поскольку , получаем

Вычисление площади поверхности.

Пусть требуется вычислить площадь поверхности, ограниченной линией Г (рис.20); поверхность задана уравнением  где функция  непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Обозначим проекцию линии Г на плоскость Oxy через L. Область на плоскости Oxy, ограниченную линией L, обозначим D.

Разобьём произвольным образом область D на n элементарных площадок В каждой площадке  возьмём точку  Точке Pi будет соответствовать на поверхности точка  Через точку Mi проведём касательную плоскость к поверхности. Уравнение её примет вид

  (1)

На этой плоскости выделим такую пло­щадку , которая проектируется на плоскость Оху в виде площадки . Рассмотрим сумму всех площадок

Предел   этой суммы, когда наибольший из диаметров пло­щадок - стремится к нулю, мы будем называть площадью по­верхности, т. е. по определению положим

  (2)

Займемся теперь вычислением площади поверхности. Обозна­чим через   угол между касательной плоскостью и плоскостью Оху.

  Рис.20 Рис.21

На основании известной формулы аналитической геометрии можно написать (рис.21)

или

  (3)

Угол  есть в то же время угол между осью Oz и перпендикуляром к плоскости (1). Поэтому на основании уравнения (1) и формулы аналитической геометрии имеем

  Следовательно,

 

Подставляя это выражение в формулу (2), получим

Так как предел интегральной суммы, стоящей в правой части последнего равенства, по определению представляет собой двойной интеграл  то окончательно получаем

  (4)

Это и есть формула, по которой вычисляется площадь поверхности  

Если уравнение поверхности дано в виде  или в виде  то соответствующие формулы для вычисления поверхности имеют вид

 (3’)

  (3’’)

где D’ и D’’ - области на плоскостях Oyz и Oxz, в которые проектируется данная поверхность.

Главная, линейная относительно Dx, часть приращения функции y = f(x), равная f¢ (x) Dx, называется дифференциалом и обозначается dy:

 dy = f¢ (x) Dx.  (3)

Если сюда подставить функцию f(x) = x, то, так как x¢ = 1, формула (3) примет вид: dx = Dx. Эта формула легко истолковывается с помощью графика функции y = x, из которого видно, что приращение этой функции содержит лишь главную часть. Таким образом, для функции y = x приращение совпадает с дифференциалом. Теперь формулу дифференциала (3) можно переписать так

 dy = f¢ (x) dx.

Отсюда следует, что

 ,

то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.

Очевидны следующие свойства дифференциала.

1. dC = 0 ( здесь и в следующей формуле C  постоянная );

2. d(Cf(x)) = Cdf(x);

3. Если существуют df(x) и dg(x), то d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x), d(f(x)g(x)) = g(x)df(x) + f(x)dg(x). Если при этом g(x) ¹0, то  

Пусть y = f(x) ‑ функция, имеющая производную в точке x, тогда dy = df(x) = f¢ (x)dx. Если аргумент x является функцией x(t) некоторой независимой переменной t, то y = F(t) = f(x(t)) сложная функция от t, и её дифференциал вычисляется по формуле dy = F¢(t)dt = f¢ (x)x¢ (t)dt. Однако по определению дифференциала x¢ (t)dt = dx и последняя формула преобразуется к виду: dy = f¢ (x)dx.

Таким образом если аргумент функции y=f(x) рассматривать как функцию другого аргумента так, что равенство Dx = dx не выполняется, формула дифференциала функции f(x) остается неизменной. Это свойство принято называть свойством инвариантности дифференциала.

Основная литература. 1. Шипачев В.С. Высшая математика.-М., Высшая школа, 2002. 2. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике.-М., Высшая школа, 2006. 3. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. - М.: Наука, 2002 4. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М., Высшая школа, 2002. 5. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М., Высшая школа, 2001. 6. Крупин В.Г., Туганбаев А.А. Теория вероятностей. - М., Факториал, 2006.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций