Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Пример Найти разложение в степенной ряд для рациональной дроби .

Решение. Запишем функцию в виде Видно, что данное выражение является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем : Полученный степенной ряд сходится при |x| < 2.

Пример Найти разложение функции в степенной ряд.

Решение. Сначала разложим данную функцию на сумму простейших рациональных дробей, используя метод неопределенных коэффициентов. Так как , то можно записать Умножим обе части на . Получаем Система уравнений имеет решение: A = 1, B = 1. Следовательно, исходная рациональная дробь раскладывается следующим образом: В полученном выражении обе дроби представляют собой суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий: Таким образом, разложение исходной функции в степенной ряд имеет вид:

Упражнения

1. Найти производные от следующих функций:

1)

;

2)

;

3)

;

3)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

 ;

11)

где x = 1;

12)

;

13)

 где t = p / 6;

14)

15)

;

16)

.

 

Дополнительная литература. 7. Ефимов А.В. , Демидович Б.П. (ред.) Сборник задач по математике для ВТУЗов. Части 1-2. - М., Наука, 1986. 8. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1-2. - М., Наука, 1985. 9. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. - М., Наука, 2005. 10. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М., Наука, 1988.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций