Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Пример Разложить в степенной ряд экспоненциальную функцию e x.

Решение. Рассмотрим ряд который сходится при всех x. Дифференцируя его почленно, получаем Следовательно, функция f (x) удовлетворяет дифференциальному уравнению f ' = f. Общее решение этого уравнения имеет вид f (x) = ce x, где c − константа. Подставляя начальное значение f (0) = 1, находим, что c = 1. Таким образом, полученное следующее разложение функции e x в степенной ряд:

Пример Разложить в степенной ряд гиперболический синус sh x.

Решение. Поскольку sh x = (e x + e−x )/2, то воспользуемся разложениями в степенной ряд функций e x и e−x. В предыдущем примере была получена формула Подставляя −x вместо x, находим, что Тогда гиперболический синус раскладывается в ряд следующим образом:

Вычислим объём тела, ограниченного цилиндрическими поверхностями   и плоскостью z=0 (рис.14,а).

Поверхность, ограничивающая тело сверху, имеет уравнение z=4-y2. Область интегрирования D получается в результате пересечения параболы  с линией пересечения цилиндра z=4-y2 и плоскости z=0, т.е. с прямой y=2 (Рис. 14, б). Ввиду симметрии тела относительно плоскости Oyz вычисляем половину искомого объёма :

Следовательно,  куб.ед.

Множество D называется областью определения функции.

Поскольку любую пару чисел x,y можно рассматривать как пару координат точки M на плоскости, вместо z=f(x,y) можно писать z=f(M).При этом аргументами функции будут координаты x,y точки M.

Числа x,y можно рассматривать как координаты вектора , исходящего из начала координат и с концом в точке M(x,y). Тогда функция двух переменных будет функцией вектора, что записывается в виде формулы z = f(), причем аргументами функции являются координаты вектора .

График функции двух переменных есть множество точек (x,y,f(x,y)), где (x,y)ÎD. График представляет собой некоторую поверхность. Пример такой

поверхности приводится на рисунке 1.

Очевидно, что нельзя ввести понятия возрастания или убывания (монотонности) функции двух переменных. Рассмотрим график некоторой функции z=f(x,y), изображенный на рисун-ке 2. Из точки M(x,y) в плоскости X,Y проведем два луча l1 и l2 , определяющих некоторые направления. Можно говорить, что в точке M функция f в направлении l1 возрастает, а в направлении l2 убывает. Это означает, что для любой точки M1 , лежащей на луче l1 достаточно близко к точке M, выполняется неравенство f(M1) > f(M). Для любой точки M2 , лежащей на луче l2 достаточно близко к точке M, выполняется неравенство f(M2) < f(M).

Дополнительная литература. 7. Ефимов А.В. , Демидович Б.П. (ред.) Сборник задач по математике для ВТУЗов. Части 1-2. - М., Наука, 1986. 8. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1-2. - М., Наука, 1985. 9. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. - М., Наука, 2005. 10. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М., Наука, 1988.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций