Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Производная произведения функций

Вроде бы по аналогии напрашивается формула …., но неожиданность состоит в том, что:

Пример

Найти производную функции

Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от .
Сначала применяем наше странное правило, а затем превращаем функции по таблице производных:

Пример

Найти производную функции

В данной функции содержится сумма  и произведение двух функций –  квадратного трехчлена   и логарифма . Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.

Здесь всё так же. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения:

Теперь для скобки  используем два первых правила:

В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции:


При определенном опыте нахождения производных, простые производные вроде  не обязательно расписывать так подробно. Вообще, они обычно решаются устно, и сразу записывается, что .

В заключение покажем метод вычисления неопределенного интеграла, стоящего в приведенной выше таблице под номером 12:

.

Представим дробь  в виде суммы двух дробей:  и , и попытаемся найти неизвестные величины параметров A и B. Из равенства  получим систему уравнений

 

с решением . Отсюда следует:

.

Полученный интеграл в обиходе обычно называют “высоким логарифмом”. Метод, которым он был найден, называется методом “неопределенных коэффициентов”. Этот метод применяется при вычислении интегралов от дробей с числителем и знаменателем в виде многочленов.

Дополнительная литература. 7. Ефимов А.В. , Демидович Б.П. (ред.) Сборник задач по математике для ВТУЗов. Части 1-2. - М., Наука, 1986. 8. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1-2. - М., Наука, 1985. 9. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. - М., Наука, 2005. 10. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М., Наука, 1988.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций