Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Задачи, приводящие к понятию производной

Рассмотрим пример. Вычислим мгновенную скорость материальной точки, свободно падающей под действием силы тяжести. Из механики известно, что закон движения этой точки задаётся уравнением  S=gt2/2. Поэтому путь ∆S, пройденный точкой за промежуток времени от t до t+∆t, равен

 ∆S= - = gt ∆t + (∆t)2

Средняя скорость за промежуток ∆t равна

 vср = = gt + ∆t,

а мгновенная скорость в момент t равна

  v =  = gt.

Задача о проведении касательной к кривой.

Пусть дана некоторая кривая и точка на ней. Рассмотрим понятие касательной к кривой в данной точке. В школьном курсе элементарной геометрии вводится понятие касательной к окружности – касательная определяется как прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. Но в общем случае – когда рассматривается произвольная кривая – это определение непригодно. Возьмём в качестве примера параболу y=x2. В точке O начала координат обе координатные оси подходят под это определение, хотя интуитивному представлению о касательной в этой точке соответствует только ось x (см. рис.1). Другим примером может служить прямая y=1, которая имеет с синусоидой  бесконечно много точек касания (см. рис.2).

  Дадим общее определение касательной. Возьмём на непрерывной кривой L две точки – точку M, в которой мы хотим провести касательную к этой кривой, и точку M1. Проведём секущую MM1. Когда точка M1 будет перемещаться вдоль по кривой, приближаясь к точке M, секущая будет вращаться вокруг точки M.

Касательной к кривой L в точке M называется предельное положение MT секущей MM1, когда точка M1, двигаясь вдоль по кривой, стремится к совпадению с точкой M (см. рис.3).


Предположим теперь, что кривая L является графиком непрерывной функции y=f(x). Найдём угловой коэффициент касательной к кривой L в точке M , т.е. tg α, где α – угол наклона касательной к оси x. Будем считать, что , т.е. касательная не параллельна оси y. Пусть точка M имеет координаты (x0, y0), а точка M1 – координаты (x0+∆x, y0+∆y). Обозначим через φ угол наклона секущей MM1 к оси x. Тогда угловой коэффициент секущей

 Kсек = tg φ =

Устремим теперь ∆x к нулю. Так как функция y=f(x) непрерывна, то и ∆y→0, а, значит, и расстояние между точками M и M1 ρ(MM1)=→0.  Это значит, что точка M1 стремится к совпадению с точкой M. Предположим, что существует предел

 =k

Так как φ=arctg, то в силу непрерывности функции y=arctg(x)

 φ =( arctg) = arctg() = arctg(k)

Это значит, что при стремлении точки M1 к точке M секущая MM1 стремится занять предельное положение с углом наклона  φ= arctg(k). Это предельное положение и является по определению касательной к кривой L в точке M. Итак, угол наклона касательной к оси x α = arctg(k).

Отсюда  tg α=k=

Теперь мы можем определить понятие производной.

Определенный интеграл как функция верхнего предела

Пусть функция f(t) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число

 ,

определив тем самым на промежутке функцию I(x), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x. Для этого сначала рассмотрим прира­щение функции в точке x при приращении аргумента Dx:

DI(x) = I(x + Dx) – I(x) =

.

Как показано на рисунке 1, величина последнего интеграла в формуле для приращения DI(x) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах Dx (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут быть и положительными и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой.

Рекомендуемая литература: " Основная литература. 1. Баврин И.И. Курс высшей математики, М., 1992 2. Шипачев В.С. Основы высшей математики, М., 1989 3. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1990 4. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. М., 1973 5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1964 6. Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянский М.Л., Цветков А.Т. Задачник по курсу математического анализа, часть 1 и часть 2, М., 1971 7. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. М., 1988
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций