Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Определение производной.

Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a;b). Рассмотрим значение аргумента  (a;b). Дадим аргументу приращение ∆x0, так чтобы выполнялось условие (x0+∆x)a;b). Обозначим соответствующие значения функции через y0 и y1: 

 y0=f(x0), y1=f(x0+∆x).  При переходе от x0 к x0+∆x функция получит приращение

 ∆y =  y1 - y0 = f(x0+∆x) - f(x0). Если при стремлении ∆x к нулю существует предел отношения приращения функции ∆y к вызвавшему его приращению аргумента ∆x,

т.е. существует предел 

  =  ,

то этот предел называется производной функции y=f(x) в точке x0. Итак, производная функции y=f(x) в точке x= x0 есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Производная функции y=f(x) в точке x обозначается символами (x) или (x). Используются также обозначения , . В последних трёх обозначениях подчёркивается то обстоятельство, что производная берётся по переменной x.

Если функция y=f(x) имеет производную в каждой точке некоторого интервала, то на этом интервале производная (x) есть функция аргумента x.

Функция f определяет для каждой точки области G вектор-градиент, исходящий из этой точки.

Возвратимся теперь к формуле (3). Ее правую часть мы можем рассматривать, как скалярное произведение векторов. Первый из них ‑ вектор-градиент функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0):

.

Второй – вектор . Это вектор, имеющий длину 1 и угол наклона к оси , равный a.

Теперь можно сделать вывод, что производная функции z = f(x,y) по направлению, определяемому углом a наклона к оси OX, в точке M0(x0,y0) может быть вычислена по формуле

 . (5)

Здесь b  ‑ угол между вектором   и вектором , задающим направление, по которому берется производная. Здесь также учтено, что .

Из формулы (5) можно сделать очень важное заключение: производная по направлению от функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) достигает наибольшего значения, если это направление совпадает с направлением вектора-градиента функции в рассматриваемой точке, так как cosb £ 1, и равенство достигается только если b = 0 (очевидно, что другие решения уравнения cosb = 1  нас в данном случае не инте­ресуют). Иначе можно сказать, что вектор-градиент функции в точке направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в этой точке.

Кроме того из формулы (5) следует, что наибольшее значение производной по направлению в точке или наибольшее значение скорости возрастания функции в точке равно длине вектора-градиента функции в этой точке.

Рекомендуемая литература: " Основная литература. 1. Баврин И.И. Курс высшей математики, М., 1992 2. Шипачев В.С. Основы высшей математики, М., 1989 3. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1990 4. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. М., 1973 5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1964 6. Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянский М.Л., Цветков А.Т. Задачник по курсу математического анализа, часть 1 и часть 2, М., 1971 7. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. М., 1988
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций