Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Механический и геометрический смысл производной.

 Уравнения нормали и касательной к графику функции.

Как было показано в § 1, мгновенная скорость точки есть

 v=.

Но это означает, что скорость v есть производная от пройденного пути S по времени t,

 v=.  Таким образом, если функция y=f(x) описывает закон прямолинейного движения материальной точки, где y есть путь, пройденный материальной точкой от момента начала движения до момента времени x, то производная (x) определяет мгновенную скорость точки в момент времени x. В этом и заключается механический смысл производной.

В § 1 был найден также угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) k=tg α= . Это соотношение означает, что угловой коэффициент касательной равен производной (x). Говоря более строго, производная (x) функции y=f(x), вычисленная при значении аргумента, равном x, равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке, абсцисса которой равна x. В этом состоит геометрический смысл производной. Математика интегралы при вычислении обьема и площади

Пусть при x=x0 функция y=f(x) принимает значение y0= f(x0), и график этой функции имеет касательную в точке с координатами (x0;y0). Тогда угловой коэффициент касательной

  k = (x0). Используя известное из курса аналитической геометрии уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении ( y-y0 = k(x-x0) ), запишем уравнение касательной:

  .

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой. Так как нормаль перпендикулярна касательной, то её угловой коэффициент kнорм связан с угловым коэффициентом касательной k известным из аналитической геометрии соотношением: kнорм = ─,  т.е. для нормали, проходящей через точку с координатами (x0;y0), kнорм = ─. Следовательно, уравнение этой нормали имеет вид:

  (при условии, что ).

В любом курсе математического анализа доказывается, что производная по направлению, определяемая формулой (2), может быть представлена в виде

 . (3)

Заметим, что частная производная по x тоже является производной по направлению. Это направление определяется равенствами: cosa = 1; sina = 0. Аналогично частная производная по y — это производная по направлению, которое можно задать условиями cosa = 0; sina = 1.

Прежде, чем анализировать формулу (3), приведем некоторые понятия и факты из курса векторной алгебры. Пусть в плоскости с системой координат XOY задан направленный отрезок  или (что то же самое) вектор, причем точка M0(x0,y0) является его начальной точкой, а M1(x1,y1) ‑ конечной точкой. Определим координату вектора по оси OX как число, равное x1 ‑ x0, а координату по оси , как число, равное y1 ‑ y0. Если задать упорядоченную пару любых чисел a и b, то эти числа можно рассматривать как координаты некоторого вектора   в плоскости XOY, причем длина этого вектора определена формулой

 ,

а тангенс угла наклона g вектора к оси OX определяется из формулы tgg = b/a (отметим, что зная величину tgg , а также знак любого из чисел a и b, мы можем определить угол g с точностью до 2p ).

Представление вектора в виде пары его координат будем записывать в виде  или . Такое представление имеет одну характерную особенность: оно не определяет местоположение вектора на плоскости XOY. Чтобы его определить, нужно наряду с координатами вектора задавать, например, координаты его начальной точки или, как её можно назвать, точки приложения вектора.

Если заданы два вектора:  и , то скалярным произве­дением  этих векторов называется число  (j‑ угол между векторами).

В любом курсе векторной алгебры доказывается, что скалярное произведение векторов   и  равно сумме произведений одноименных координат этих векторов:

  = a1b1 + a2b2. (4)

Пусть в некоторой области G плоскости XOY задана функция z = f(x,y), имеющая непрерывные частные производные по обоим аргументам. Градиентом или вектором-градиентом  функции f(x,y) в точке (x,y) Î G называется вектор, который задается формулой

 .

Рекомендуемая литература: " Основная литература. 1. Баврин И.И. Курс высшей математики, М., 1992 2. Шипачев В.С. Основы высшей математики, М., 1989 3. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1990 4. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. М., 1973 5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1964 6. Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянский М.Л., Цветков А.Т. Задачник по курсу математического анализа, часть 1 и часть 2, М., 1971 7. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. М., 1988
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций