Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Примеры вычисления производной.

Для того чтобы вычислить производную функции y=f(x) в точке x, необходимо:

 - аргументу x дать приращение ∆ x;

 - найти соответствующее приращение функции ∆ y=f(x+∆ x) - f(x);

 - составить отношение ;

 - найти предел этого отношения при ∆ x→0.

Пример. Найти производную функции y=C=const. Производные функции, заданной параметрически

Аргументу x даём приращение ∆ x.

Каково бы ни было x, ∆ y=0: ∆ y=f(x+∆ x) ─ f(x)=С─С=0;

Отсюда =0  и =0, т.е. =0.

Пример. Найти производную функции y= x.

∆ y=f(x+∆ x) ─ f(x)= x+∆ x – x=∆ x;

=1,  =1, т.е. =1.

Пример. Найти производную функции y= x2.

∆ y = (x+∆ x)2 – x2 = 2 x∙∆ x + (∆ x)2;

  = 2 x + ∆ x,  = 2 x, т.е. =2 x.

Пример. Требуется найти производную функции  по направлению, составляющему угол в 60° с осью OX, в точке (1;3).

Найдем частные производные функции:  Теперь можно определить градиент функции в точке (1;3): . Принимая во внимание равенство , воспользуемся формулой (4):

.

Рекомендуемая литература: " Основная литература. 1. Баврин И.И. Курс высшей математики, М., 1992 2. Шипачев В.С. Основы высшей математики, М., 1989 3. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1990 4. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. М., 1973 5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1964 6. Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянский М.Л., Цветков А.Т. Задачник по курсу математического анализа, часть 1 и часть 2, М., 1971 7. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. М., 1988
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций