Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Понятие дифференцируемости функции.

 Дифференциал.

Пусть, как и раньше, функция y=f(x) определена на интервале (a;b). Рассмотрим значение аргумента x0 a;b). Дадим аргументу приращение ∆x0, так чтобы выполнялось условие (x0+∆x)a;b). При этом функция получит приращение ∆y= f(x+∆x) ─ f(x).

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если её приращение в этой точке можно представить в виде

 ∆y=A ∆x + o(∆x),

где  A - некоторая постоянная, а o(∆x) – величина более высокого порядка малости, чем ∆x, т.е.  = 0. Выражение A ∆x называется дифференциалом функции f(x) в точке x0, соответствующим приращению аргумента ∆x, и обозначается  символом dy или df(x0). При этом приращение независимой переменной ∆x называется дифференциалом аргумента и обозначается символом dx. В соответствии с этими обозначениями можно записать: dy = A dx. Если A≠0, то при ∆ x→0 второе слагаемое, т.е. o(∆x), является величиной более высокого порядка малости, чем первое слагаемое (A ∆x). При этом приращение функции ∆y определяется, главным образом, первым слагаемым, т.е. дифференциалом. Поэтому дифференциал называют главной частью приращения функции.

Связь между дифференцируемостью функции и существованием производной.

Докажем теорему, устанавливающую связь между дифференцируемостью функции и существованием у этой функции производной.

Теорема 6.1. Для того чтобы функция y=f(x) имела в произвольной точке x0 конечную производную, необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируема в этой точке.

Докажем необходимость. Предположим, что функция y=f(x) имеет в точке x0 конечную производную, т.е.  = (x0). Это значит, что при ∆x→0 (x0), или [(x0)] →0. Обозначим эту разность через  = (x0).

Тогда   =(x0) +, ∆y =(x0) ∆ x +∆ x, где →0 при ∆ x→0, т.е.  = 0. Обозначим (x0) через A. Тогда ∆y = A ∆ x + ∆ x. Докажем, что ∆ x есть o(∆x). Действительно,  .

Итак, ∆y = A ∆ x + o(∆x), т.е. функция y=f(x) дифференцируема в точке x0.

Докажем достаточность. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x0. Тогда в этой точке  ∆y = A ∆ x + o(∆x),   = A + .

(x0) =  = A +  = A + 0 = A, т.е. функция y=f(x) имеет в точке x0 конечную производную, равную A.

Таким образом, мы доказали, что если функция имеет в некоторой точке конечную производную, то она и дифференцируема в этой точке, и наоборот, если она дифференцируема, то она имеет конечную производную. Поэтому мы имеем право отождествить понятие дифференцируемости функции в данной точке с понятием существования у функции в данной точке производной.

В ходе доказательства теоремы 6.1 мы выяснили, что постоянная A в выражении для приращения ∆y  дифференцируемой функции y=f(x) в некоторой точке x совпадает с производной функции в этой точке (x): A = (x). В параграфе 5 мы установили соотношение между дифференциалом функции и дифференциалом независимого аргумента: dy = A dx.  Теперь это соотношение можно переписать в виде dy =(x) dx.

В ходе доказательства этой теоремы мы установили ещё и то, что приращение дифференцируемой функции можно представить в виде

∆y =(x0) ∆ x +∆ x, где →0 при ∆ x→0.

Пример:

z = xy; zx¢ = y; zy¢ = x; zx¢(0,0) = 0; zy¢(0,0) = 0.

Обе частные производные в точке (0,0)  обращаются в 0. Однако точка (0,0)  не является точкой экстремума, так как в ней самой z = 0, а в любой её окрестности есть точки, где z(x,y) > 0 (это точки, лежащие внутри первого и третьего координатных углов), и есть точки, где z(x,y) < 0 (это точки, лежащие внутри второго и четвертого координатных углов).

Для ответа на вопрос, является ли точка области определения функции точкой экстремума, нужно использовать достаточное условие экстремума. Ниже приводится его формулировка.

Пусть zx¢(x0,y0) = 0 и zy¢(x0,y0) = 0, а вторые частные производные функции z непрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0). Введем обозначения: A = zxx¢¢(x0,y0); B = zxy¢¢(x0,y0); C = zyy¢¢(x0,y0); D = AC - B2.

Тогда, если D < 0, то в точке (x0,y0) экстремума нет.

Если D > 0, то в точке (x0,y0) экстремум функции z, причем если A > 0, то минимум, а если A < 0, то максимум.

Если D = 0, то экстремум может быть, а может и не быть. В данном случае требуются дополнительные исследования.

Исследование функции двух переменных на экстремум сводится к следующему: сначала выписываются необходимые условия экстремума:

 zx¢(x,y) = 0;

  zy¢(x,y) = 0

которые рассматриваются как система уравнений. Ее решением является некоторое множество точек. В каждой из этих точек вычисляются значения D и проверяется выполнение достаточных условий экстремума.

Рекомендуемая литература: " Основная литература. 1. Баврин И.И. Курс высшей математики, М., 1992 2. Шипачев В.С. Основы высшей математики, М., 1989 3. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1990 4. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. М., 1973 5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1964 6. Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянский М.Л., Цветков А.Т. Задачник по курсу математического анализа, часть 1 и часть 2, М., 1971 7. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. М., 1988
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций