Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Геометрический смысл дифференциала

Пусть функция y=f(x)  дифференцируема в точке x0 и принимает в этой точке значение y0= f(x0). Рассмотрим график этой функции (см. рис.3). Проведём в точке М(x0; y0) графика касательную MT. Угловой коэффициент этой касательной, tg α, равен производной (x0). Дадим аргументу x0 приращение ∆ x. Тогда ордината графика функции получит приращение ∆ y, а ордината касательной – приращение  ∆ yк. Из треугольника MAB видно, что ∆ yк = ∆ x tg α. Но  tg α = (x0). Поэтому ∆ yк = (x0) ∆ x = (x0) dx.

Но последнее выражение, (x0) dx, есть дифференциал dy функции y=f(x):

  dy =(x0)dx. Следовательно ∆ yк = dy. Итак, дифференциал функции y=f(x) в некоторой точке x есть приращение ординаты касательной к графику функции в этой точке, соответствующее приращению аргумента ∆ x.

Производные простейших элементарных функций.

Степенная функция y=xα. Область определения x зависит от значения показателя α.

В случае целочисленного показателя, а также в том случае, когда ,  где m – целое нечётное число, .  Если же , то  (если при этом α > 0, то допускается  x=0).

Производная этой функции ( xα=. В частности, .

Показательная функция y = ax, a > 0, a ≠ 1.

Производная этой функции ( ax= ax ln a, в частности, ( ex= ex.

Логарифмическая функция y = logax,  a > 0, a ≠ 1.

Производная этой функции (logax, в частности, ( ln x=.

Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x ( x ≠ k π+ ), y = ctg x

 ( x ≠ k π ).

Производные этих функций:

  ( sin x= ,  ( cos x= , ( tg x=, ( ctg x=.

Обратные тригонометрические функции y = arcsin x (),

 y = arccos x(), y = arctg x, y = arcctg x.

Производные этих функций:

( arcsin x

( arcos x,

( arctg x,  ( arcctg x

В математике и приложениях встречаются гиперболические функции:

гиперболический синус – sh x =,

гиперболический косинус – ch x =

гиперболический тангенс – th x =,

гиперболический котангенс – cth x =.

Производные этих функций:

( sh x= ch x, ( ch x= sh x, ( th x=, ( cth x= ( x ≠ 0 ).

Формула (1) с параметрами a0, a1 определенными из системы (4), называется уравнением регрессии. Прямая линия, описываемая этим уравнением, называется линией регрессии. Для временных рядов обычно вместо слова “регрессия” употребляется слово тренд.

Если экспериментальные точки в плоскости  группируются вдоль некоторой кривой линии, то можно подобрать вместо формулы (1) другую подходящую формулу, например, y = a0 + a1x + a2x2 или y = a0 exp(a1x) с параметрами соответственно a0, a1, a2 и a0, a1, подставить ее в выражение   и искать минимум получившейся функции S2 при помощи частных производных по параметрам.

Упражнения

1. Найти частные производные первого порядка от следующих функций:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

Рекомендуемая литература: " Основная литература. 1. Баврин И.И. Курс высшей математики, М., 1992 2. Шипачев В.С. Основы высшей математики, М., 1989 3. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1990 4. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. М., 1973 5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1964 6. Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянский М.Л., Цветков А.Т. Задачник по курсу математического анализа, часть 1 и часть 2, М., 1971 7. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. М., 1988
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций