Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Пример. Найти производную функции y = x5.

По формуле для производной степенной функции при  находим

= 5.

Пример. Найти производную функции y =.

Перепишем выражение для y в виде .

По формуле для производной степенной функции при  находим

  Основные правила вычисления производных.

Теорема 10.1. Пусть функция u=φ(x)  имеет в данной точке x0 производную .  Тогда функция y = c∙u имеет в точке x0 производную .

Здесь c – произвольная постоянная.

Доказательство.  Дадим аргументу x приращение ∆ x. Тогда

∆ y = y(x0+∆ x) ─ y(x0) = c∙ φ(x0+∆ x) ─ c∙ φ(x0) = c∙[φ(x0+∆ x) ─ φ(x0)] = c∙∆φ.

Теорема доказана.

Теорема 10.2. Пусть функции u(x) и v(x) имеют в данной точке  x0 производные. Тогда в этой же точке имеют производные и функции u(x) + v(x),  u(x) ─ v(x),

 u(x) ∙ v(x), а также (если v(x0)≠0) функция  ,

 причём (.

Доказательство. Пусть f(x) = u(x) + v(x). Тогда  ∆ f = f(x0+∆ x) ─ f(x0) =

= u(x0+∆ x) ─ u(x0) + v(x0+∆ x) ─ v(x0).

(x0) =  = + =. Таким образом, .

Совершенно аналогично доказывается, что .

Пусть теперь f(x) = u(x) ∙ v(x).  Тогда

∆ f = f(x0+∆ x) ─ f(x0) = u(x0+∆ x) ∙ v(x0+∆ x) ─ u(x0) ∙ v(x0).

Введём для удобства обозначения:  ∆u = u(x0+∆ x) ─ u(x0), ∆v = v(x0+∆ x) ─ v(x0),

u = u(x0), v = v(x0). Тогда u(x0+∆ x) = u + ∆u, v(x0+∆ x) = v + ∆v,

∆f = (u + ∆u) ∙ (v + ∆v) ─ u ∙ v = ∆u ∙ (v + ∆v) + u ∙ ∆v.

Так как функция v(x) дифференцируема (имеет производную) в точке x0, то она непрерывна в этой точке. Следовательно, при ∆ x→0 и ∆ v→0. Поэтому

 = ∙ v + u ∙ + ∆ v =

=.  Таким образом, .

Пусть далее f(x) =. Тогда

∆ f ==  (здесь обозначения u, v, ∆u, ∆v имеют тот же смысл, что и выше).

  = . Так как ∆ v = 0, то

= =. Таким образом, .

Теорема доказана.

Точки минимума и максимума называются точками экстремума.

Число A называется пределом функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0):

 ,

если для произвольного числа e > 0 найдется такое число d > 0, что для всех точек M(x,y) из d-окрестности точки M0(x0,y0) выполняется неравенство

 |f(x,y) - A|<e .

Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке M0(x0,y0), если

 .

Два последних определения фактически повторяют определения предела и непрерывности в точке для функции одной переменной.

Рекомендуемая литература: " Основная литература. 1. Баврин И.И. Курс высшей математики, М., 1992 2. Шипачев В.С. Основы высшей математики, М., 1989 3. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1990 4. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. М., 1973 5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1964 6. Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянский М.Л., Цветков А.Т. Задачник по курсу математического анализа, часть 1 и часть 2, М., 1971 7. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. М., 1988
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций