Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Производная сложной функции.

Теорема 12.1 Пусть функция  u =φ(x) имеет в некоторой точке x0 производную , а функция  имеет в соответствующей точке  производную . Тогда сложная функция  в точке x0 также имеет производную, равную произведению производных функций  и φ(x):

 .

Коротко это соотношение можно записать в виде  .

Доказательство. Дадим аргументу  x приращение ∆ x. Тогда функция u =φ(x) получит приращение ∆ u, а функция  получит приращение ∆ y. Так как функции φ(x) и  имеют производные, то есть дифференцируемы, то , а , где  при  и  при .

Подставим выражение для ∆u в выражение  для ∆y:

.

Разделим это равенство на ∆x:

.

Если  , то   и (как следует из выражения для ∆ u) .  Но тогда и . Поэтому

=.

Теорема доказана.

Остановимся на одном частном случае применения этой теоремы. Пусть ,  где C – константа. Тогда .

Пусть, например, . Здесь . Введём обозначение , тогда .

Дифференциал функции двух переменных

Рассмотрим функцию z = f(x,y), имеющую в точке Р0(х0,у0) частные производные f¢x(х0,у0) и f¢у(х0,у0). Перейдём от точки Р0 к точке R0(x0+Dx,y0+Dу), придавая переменным х и у в точке Р0 произвольные приращения Dx и Dу, соответственно. При этом функция в точке Р0 получит приращение

  Df(х0,у0) = f(x0+Dx,y0+Dy) – f(x0,y0) = f(R0) – f(P0).

Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде

 Df(х0,у0) = f¢x(х0,у0)Dx + f¢у(х0,у0)Dу + a(Dx;Dу) Dx + b(Dx;Dу)Dу,  (1)

где , то функция называется дифференцируемой в точке Р0(х0,у0). Сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (1) называется дифференциалом функции f(x,y) в точке Р0 и обозначается df(x0,y0):

 df(x0,y0) = f¢x(х0,у0)Dx + f¢у(х0,у0)Dу.  (2)

Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна, его принято обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов. Полагая поочерёдно f(x,y) = х и f(x,y) = у, получим, что дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у равны соответственно Dx  и Dу . Таким образом

 df = f¢x dх + f¢у dу.

Раньше говорилось о том, что из существования частных производных в точке не следует непрерывности функции в этой точке. Однако, из справедливости равенства (1) следует

 ,

а это означает непрерывность функции в точке (х0,у0). Следовательно, дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке.

Методическое обеспечение. 1. Зайцев М.В., Лавриненко Т.А. Высшая математика. Сборник задач. Ч. 1. - М., РГТЭУ, 2007. 2. Зайцев М.В., Лавриненко Т.А., Туганбаев А.А. Высшая математика. Сбор-ник задач. Ч. 2. - М., РГТЭУ, 2007. 3. Мушруб В.А., Чубарова Е.И.. . Контрольные задания по высшей матема-тике для студентов заочной формы обучения (первый семестр) - М, РГТЭУ, 2007.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций