Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Односторонние производные

Производная есть предел разностного отношения , причём этот предел не зависит от характера стремления  к нулю ( может быть как больше, так и меньше нуля, то есть может стремиться к нулю как справа, так и слева). Но в ряде случаев функция может не иметь в заданной точке производной, хотя в этой точке существует предел отношения   при условии, что   стремится к нулю только справа (правый предел) или только слева (левый предел), или же существует как правый, так и левый предел, но они не равны друг другу. Например, если функция определена на отрезке, а за пределами этого отрезка не определена, то на границах отрезка могут существовать только односторонние пределы. Такие односторонние пределы называются односторонними производными. А именно, если для рассматриваемой функции в заданной точке существует правый (левый) предел отношения , то этот предел называется правой (левой) производной. Правая производная функции   обозначается символом , левая – символом . То есть . Выше (см. § 7) уже говорилось о том, что функция  y== не дифференцируема в точке x = 0.  Однако в этой точке она имеет как правую, так и левую производную. Действительно,  .

Если функция  имеет в точке x производную, то очевидно, что она имеет в этой точке как правую, так и левую производную, причём .

Верно и обратное утверждение: если функция  имеет в точке x равные между собой правую и левую производную, то она имеет в этой точке и производную, причём

.

Пример. Решить уравнение  при начальном условии y(1) = 2. (Заметим, что в данном случае нельзя задавать начальное условие при x = 0, так как это значение не принадлежит области B определения функции F (см. формулу (1) из §1).)

Для решения поставленной задачи можно было бы воспользоваться формулой (11), но мы пойдем другим путем: применим метод решения уравнений, которым была получена формула (11).

В нашем уравнении . Решение однородного уравнения  получается из формулы (10):

 . (12)

Реализуем теперь вариацию произвольной константы A, считая, что A = A(x) есть некоторая функция аргумента x. Тогда , и подставив это выражение вместе с приведенным выше выражением для y в исходное уравнение, получим:

 ,

откуда следует, что A¢(x) = x2 или . Если теперь подставить это в формулу (12), то получится общее решение исходного уравнения: . С помощью начального условия найдем значение неопределенной константы C и выпишем решение поставленной задачи: .

Методическое обеспечение. 1. Зайцев М.В., Лавриненко Т.А. Высшая математика. Сборник задач. Ч. 1. - М., РГТЭУ, 2007. 2. Зайцев М.В., Лавриненко Т.А., Туганбаев А.А. Высшая математика. Сбор-ник задач. Ч. 2. - М., РГТЭУ, 2007. 3. Мушруб В.А., Чубарова Е.И.. . Контрольные задания по высшей матема-тике для студентов заочной формы обучения (первый семестр) - М, РГТЭУ, 2007.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций