Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Теорема Ролля

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах отрезка принимает равные значения: . Тогда внутри отрезка [a;b] найдётся такая точка c, в которой производная  равна нулю.

Доказательство. Так как функция f(x)  непрерывна на отрезке [a;b], то, как следует из теоремы Вейерштрасса, она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и своего наименьшего значения m. Если M = m, то функция f(x) постоянна на отрезке [a;b], а, следовательно, в любой точке x этого отрезка . Если же  M > m, то хотя бы одно из двух значений M или m достигается в некоторой внутренней точке c отрезка [a;b] (так как , то не равные между собой значения M и m не могут оба достигаться на концах отрезка [a;b] ). Но тогда в этой точке c функция  f(x) имеет локальный экстремум. Так как функция f(x) дифференцируема в точке c, то по теореме 17.1 .

Теорема доказана.

Теорема Лагранжа

Теорема 19.1 (теорема Лагранжа). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a;b] найдётся такая точка c, что для неё выполняется равенство

 

Последнее равенство носит название формулы Лагранжа или формулы конечных приращений.

Доказательство. Проведём вначале предварительные рассуждения. Секущая AB (рис. 7) проходит через точки  и , её угловой коэффициент есть , поэтому уравнение секущей AB имеет вид

  или

.

Обозначим выражение, стоящее в правой части этого равенства, через :

  .

 Тогда секущая AB есть график функции . Очевидно, что .

 Введём теперь на отрезке [a;b] вспомогательную функцию

 .

Функции   удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непрерывна на отрезке  [a;b] (как разность непрерывной функции f(x) и линейной функции) и во всех внутренних точках отрезка [a;b] имеет производную, равную

.

Кроме того, так как , то , т.е. функция  принимает равные значения на концах отрезка [a;b]. Следовательно, согласно теореме Ролля, на отрезке [a;b] найдётся такая точка c, что .  Это значит, что , т.е. , откуда .

Теорема доказана.

Обратимся к геометрическому смыслу теоремы Лагранжа. Как мы уже отметили, величина   есть угловой коэффициент секущей AB. В то же время  есть угловой коэффициент касательной к кривой  в точке с абсциссой . Таким образом, геометрически утверждение теоремы Лагранжа равносильно следующему: на дуге  всегда найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде  (рис. 7).

Отметим, что теорему Ролля можно рассматривать как частный случай теоремы Лагранжа.

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука,1982, ч.1; 1983, ч.2. 2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Начальный курс. Под ред. А.Н.Тихонова. М.: Изд во МГУ, 1985. 662 с. 3. Задачник по курсу математического анализа под ред. Н.Я.Виленкина. М.:Просвещение,1971, ч.1 2. 4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М.: Наука,1967, т.1 2. 5. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Наука,1973, т.1 2.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций