Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Теорема Коши

Следующую теорему можно рассматривать как обобщение теоремы Лагранжа.

Теорема 20.1 (теорема Коши). Пусть функции f(x) и g(x)  непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причём производная  отлична от нуля во всех внутренних точках отрезка [a;b]. Тогда внутри отрезка [a;b] найдётся такая точка c, что справедлива формула

 

Последнюю формулу называют формулой Коши или обобщённой формулой конечных приращений.

Доказательство. Убедимся сначала в том, что знаменатель левой части формулы Коши не равен нулю (так как в противном случае это выражение не имело бы смысла). В самом деле, если бы было , то для функции  были бы выполнены все условия теоремы Ролля, и, следовательно, внутри отрезка [a;b] нашлась бы такая точка c, что , а это равенство противоречит условию теоремы. Рассмотрим теперь вспомогательную функцию .

Функция   удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непрерывна на отрезке  [a;b] (поскольку непрерывны  и   ) и во всех внутренних точках отрезка [a;b] имеет производную, равную

 .

Кроме того, очевидно, что . Таким образом, как следует из теоремы Ролля, внутри отрезка [a;b] найдётся такая точка c, что , то есть

 , или

 .

Разделив это равенство на  (в данном случае это возможно, та как ), получим требуемое равенство.

Теорема доказана.

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука,1982, ч.1; 1983, ч.2. 2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Начальный курс. Под ред. А.Н.Тихонова. М.: Изд во МГУ, 1985. 662 с. 3. Задачник по курсу математического анализа под ред. Н.Я.Виленкина. М.:Просвещение,1971, ч.1 2. 4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М.: Наука,1967, т.1 2. 5. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Наука,1973, т.1 2.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций