Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Исследование функций с помощью производных

Условие постоянства функции на интервале

Рассмотрим достаточное условие постоянства дифференцируемой функции на интервале.

Теорема 21.1. Если функция  дифференцируема на интервале (a;b), и если всюду

на этом интервале , то функция  является постоянной на этом интервале. Неравенства с обратными тригонометрическими функциями удобно решать с использованием графиков обратных тригонометрических функций.

Доказательство. Зафиксируем некоторую точку x0 из интервала (a;b) и возьмём любую другую точку x из этого интервала. Отрезок [x0, x] целиком принадлежит

интервалу (a;b), поэтому функция  дифференцируема, а, следовательно, и непрерывна всюду на отрезке [x0, x]. Это значит, что для функции  на отрезке [x0, x] выполнены условия теоремы Лагранжа. Следовательно, внутри отрезка [x0, x] найдётся такая точка c, что .  Но так как по условию всюду на интервале (a;b) , то и , а, следовательно, . Это равенство означает, что значение функции  в произвольной точке интервала (a;b) равно её значению в фиксированной точке x0, то есть функция   постоянна всюду на интервале (a;b).

Теорема доказана.

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука,1982, ч.1; 1983, ч.2. 2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Начальный курс. Под ред. А.Н.Тихонова. М.: Изд во МГУ, 1985. 662 с. 3. Задачник по курсу математического анализа под ред. Н.Я.Виленкина. М.:Просвещение,1971, ч.1 2. 4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М.: Наука,1967, т.1 2. 5. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Наука,1973, т.1 2.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций