Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Исследование функций с помощью производных

Отыскание точек локального экстремума функции

Как следует из теоремы 17.1, производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума этой функции равна нулю. Поэтому функция, дифференцируемая на некотором интервале, может иметь на этом интервале локальный экстремум только в тех точках, где её производная равна нулю. Такие точки, т.е. точки, в которых производная функции равна нулю, называются точками возможного экстремума или стационарными точками. Однако в стационарной точке не обязательно достигается локальный экстремум функции. Например, функция   не имеет локального экстремума в стационарной точке x=0. Предположим теперь, что функция дифференцируема всюду на заданном интервале, за исключением конечного числа точек, в которых эта функция не имеет производной. В тех точках, в которых функция имеет отличную от нуля производную, эта функция, как следует из теоремы 16.1, либо возрастает, либо убывает. Поэтому в таких точках локального экстремума быть не может. Система линейных уравнений Решить систему уравнений Решить систему уравнений

В остальных точках заданного интервала, т.е. в стационарных точках и в тех точках, где функция не имеет производной, наличие локального экстремума возможно. Так, например, функция y= не имеет производной в точке x = 0, но в этой точке функция имеет локальный минимум (рис. 4). Такие точки, а именно стационарные точки и те точки, в которых функция не имеет производной, называются критическими точками. Для того чтобы выяснить, имеется ли экстремум в критической точке, требуется дополнительное исследование. Рассмотрим достаточное условие достижения функцией локального экстремума в критической точке.

Теорема 23.1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция  дифференцируема всюду в некоторой окрестности критической точки , за исключением, быть может, самой точки , и непрерывна в точке . Тогда, если в пределах этой окрестности производная  положительна (отрицательна) слева от точки  и отрицательна (положительна) справа от точки , то функция имеет в точке  локальный максимум (минимум). Если же производная   имеет один и тот же знак слева и справа от точки , то экстремума в точке  нет.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда в пределах некоторой окрестности производная  положительна слева от точки  и отрицательна справа от точки . Выберем в пределах рассматриваемой окрестности произвольную точку , отличную от точки . Функция  дифференцируема, а, следовательно, и непрерывна всюду на отрезке , за исключением, быть может, точки , и непрерывна в точке . Поэтому для функции  на отрезке  выполнены все условия теоремы Лагранжа. Следовательно, внутри отрезка  найдётся такая точка c, что .

Поскольку производная  положительна при  и отрицательна при , то в пределах рассматриваемой окрестности выражение   отрицательно. Но это означает, что в пределах данной окрестности значение  является наибольшим, то есть точка  доставляет функции  локальный максимум. Рассуждая точно также, можно доказать, что в случае, когда производная  отрицательна слева от точки  и положительна справа от неё, точка   доставляет функции   локальный минимум, а в случае, когда производная  имеет один и тот же знак слева и справа от точки ,  выражение  имеет разные знаки слева и справа от точки , что означает отсутствие экстремума в точке .

Теорема доказана.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если производные, входящие в уравнение, берутся только по одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если в уравнении встречаются производные по нескольким переменным, то уравнение называется уравнением в частных производных. Мы будем рассматривать лишь обыкновенные дифференциальные уравнения.

Начнем с дифференциальных уравнений первого порядка. Это уравнения, в которые входит лишь первая производная неизвестной функции. Это уравнение может быть записано в виде

 F(x,y,y¢) = 0. (1)

Здесь x ‑ независимая переменная, y ‑ её неизвестная функция,   ‑ производная функции y, F ‑ заданная функция трех переменных. Функция F может быть задана не для всех значений её аргументов, поэтому можно говорить об области B определения функции F координатного пространства, то есть о множестве точек координатного пространства трех переменных x,y,y¢.

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука,1982, ч.1; 1983, ч.2. 2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Начальный курс. Под ред. А.Н.Тихонова. М.: Изд во МГУ, 1985. 662 с. 3. Задачник по курсу математического анализа под ред. Н.Я.Виленкина. М.:Просвещение,1971, ч.1 2. 4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М.: Наука,1967, т.1 2. 5. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Наука,1973, т.1 2.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций