Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Исследование функций с помощью производных

Рассмотрим примеры нахождения локальных экстремумов с помощью производной.

Пример. Найти локальные экстремумы функции .

Решение. Найдём критические точки заданной функции:  при  и при . Заданная функция дифференцируема на всей действительной оси, поэтому других критических точек нет. Выясним, какой знак имеет производная   в окрестности каждой из точек   и : при  и при  , при  . Это значит, что слева от точки  производная  отрицательна, справа положительна, слева от точки  производная положительна, справа отрицательна. В каждой из этих точек функция непрерывна (так как дифференцируемость функции означает её непрерывность). Поэтому на основании теоремы 23.1 можно сделать вывод, что в точке  функция имеет минимум, , в точке  функция имеет максимум, .

Пример. Найти локальные экстремумы функции .

Решение. Найдём критические точки: при  , при  , при  функция производной не имеет. Таким образом, единственной критической точкой является точка . Так как слева от этой точки производная отрицательна, справа положительна, в самой же этой точке функция непрерывна, то в этой точке функция имеет минимум, при этом .

Пример. Найти локальные экстремумы функции .

Решение. Найдём критические точки:  при . Так как функция дифференцируема на всей действительной оси, то других критических точек нет. Производная  положительна и слева, и справа от точки , в самой этой точке функция непрерывна (в силу дифференцируемости), поэтому в этой точке функция не имеет экстремума.

В ряде случае исследование знака производной  слева и справа от критической точки оказывается затруднительным. Однако если в этой критической точке функция  имеет равную нулю первую производную (то есть эта точка является стационарной) и, кроме того, имеет отличную от нуля вторую производную, то можно указать следующее достаточное условие наличия в данной точке локального экстремума.

Теорема 23.2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция  имеет в стационарной точке c отличную от нуля вторую производную. Тогда функция  имеет в точке c максимум, если , и минимум, если .

Доказательство. Функция  является производной функции , поэтому, в соответствии с теоремой 16.1, функция   в точке c убывает при   и возрастает при . Поскольку по условию точка c является стационарной, т.е. , то убывание (возрастание) функции  в точке c означает, что найдётся такая окрестность точки c, в пределах которой  положительна (отрицательна) слева от точки  c и отрицательна (положительна) справа от точки c. Но тогда по

теореме 23.1 функция  имеет в точке c максимум (минимум).

Теорема доказана.

Пример Найти локальные экстремумы функции .

Решение. Функция определена для значений аргумента . Найдём критические точки:  при .

Производная непрерывна на всей области определения функции. Таким образом, единственной критической точкой является стационарная точка . Найдём вторую производную заданной функции: .

В точке   . Так как в точке  , то на основании теоремы 23.2 можно сделать вывод, что в этой точке функция имеет минимум, при этом .

Приведем примеры дифференциальных уравнений первого порядка:

 y¢ – x4 = 0; xsiny¢ – lny = 0; xcosy + (y¢ – y2)sinx = 0.

Решением уравнения (1) называется такая функция y = j(x), определенная на некотором промежутке (x1, x2), что при подстановке её вместо y в уравнение (1) полу­чается верное равенство на всем промежутке (x1, x2). Очевидно, что подстановка y = j(x) возможна только тогда, когда функция j(x) на промежутке (x1, x2) имеет первую производную. Необходимо также, чтобы при любом значении переменной x из промежутка (x1, x2) точка с координатами x, y, y¢ принадлежала множеству B, на котором определена функция F. Совокупность всех решений дифференциального уравнения называется его общим решением.

В некоторых случаях уравнение (1) определяет переменную y¢ как функцию независимых переменных x и y:

 y¢ = f(x,y). (2)

Тогда дифференциальное уравнение (2) равносильно дифференциальному уравнению (1) и называется разрешенным относительно производной.

Рассмотрим свойства решений уравнения (2). Введем в рассмотрение координатную плоскость XY переменных x и y. Мы будем рассматривать лишь такие уравнения, у которых область определения правой части есть некоторая открытая область G в плоскости XY (область называется открытой, если каждая точка входит в неё вместе с некоторой своей окрестностью). Пусть функция y = j(x) – решение уравнения (2). Тогда график этой функции называется интегральной линией или интегральной кривой. Эта кривая лежит в области G. Если точка (x0, y0) принадлежит области G, то интегральная кривая проходит через эту точку. Интегральная кривая в рассматриваемой точке имеет касательную, угловой коэффициент которой равен

  j¢(x0) = f(x0, j(x0))

Таким образом, в каждой точке области G можно установить положение касательной к графику решения уравнения (2), проходящему через эту точку.

Можно себе представить, что в каждой точке области G построен короткий отрезок касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Тогда получится чертеж, который называется полем направлений, задаваемым уравнением (2). Пример приведен на рисунке 1. Таким образом, каждое дифференциальное уравнение вида (2) задает на плоскости XY в области G поле направлений. Интегральные линии этого уравнения касаются направления, задаваемого полем в этой точке.

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука,1982, ч.1; 1983, ч.2. 2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Начальный курс. Под ред. А.Н.Тихонова. М.: Изд во МГУ, 1985. 662 с. 3. Задачник по курсу математического анализа под ред. Н.Я.Виленкина. М.:Просвещение,1971, ч.1 2. 4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М.: Наука,1967, т.1 2. 5. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Наука,1973, т.1 2.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций