Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Исследование функций с помощью производных

Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Пусть функция  непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема всюду на этом отрезке за исключением, быть может, конечного числа точек. Пусть, кроме того, производная  отлична от нуля всюду на отрезке [a;b] за исключением, быть может, конечного числа точек. Эти предположения означают, что на отрезке [a;b] может содержаться лишь конечное число критических точек функции . Поставим задачу об отыскании максимального и минимального значений функции  на отрезке [a;b]. Поскольку функция  непрерывна на отрезке [a;b], то по теореме Вейерштрасса она достигает на этом отрезке своего максимального и своего минимального значения. Каждое из этих значений может достигаться либо во внутренней точке отрезка [a;b] (очевидно, что в таком случае оно совпадает с одним из локальных экстремумов), либо на одном из концов этого отрезка. Отсюда следует, что для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции  на отрезке [a;b] достаточно сравнить между собой значения этой функции во всех точках локального экстремума и в граничных точках отрезка (в точках a и b) и выбрать среди этих значений наибольшее и наименьшее. Для этого нужно исследовать все критические точки на наличие экстремума и для тех критических точек, которые являются точками экстремума, вычислить значение функции . Если же исследование критических точек на наличие экстремума окажется затруднительным, можно просто вычислить значения функции   во всех критических точках и в граничных точках и выбрать среди этих значений наибольшее и наименьшее. Отметим, что если функция  имеет на отрезке [a;b] лишь одну критическую точку и эта точка является точкой локального максимума (минимума), то можно сразу, не сравнивая значение функции в этой точке с её значениями на концах отрезка, сделать вывод, что это значение является наибольшим (наименьшим) значением функции   на отрезке [a;b].

Пример Найти наибольшее и наименьшее значение функции   на отрезке . Метод замены неизвестных при решении систем уравнений аналогичен этому же методу для обычных алгебраических уравнений

Решение. Находим критические точки функции: ,

  при , при  и при . Заданная функция дифференцируема на всей действительной оси, поэтому других критических точек нет. Находим значения функции в критических точках и на границах отрезка: . Отсюда видно, что наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 10, наименьшее значение равно .

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Если в уравнении

 y¢ = f(x,y). (1)

f(x,y) = f1(x)f2(y), то такое уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными. Его общий вид:

 .

Предполагая, что f2(y) ¹ 0, преобразуем последнее уравнение:

 .

В обеих частях полученного уравнения стоят дифференциалы некоторых функций аргумента х. Из равенства дифференциалов этих функций следует, что сами функции отличаются одна от другой на константу.

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука,1982, ч.1; 1983, ч.2. 2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Начальный курс. Под ред. А.Н.Тихонова. М.: Изд во МГУ, 1985. 662 с. 3. Задачник по курсу математического анализа под ред. Н.Я.Виленкина. М.:Просвещение,1971, ч.1 2. 4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М.: Наука,1967, т.1 2. 5. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Наука,1973, т.1 2.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций