Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Направление выпуклости графика функции.

 Точки перегиба

Дадим определение направления выпуклости графика функции. Предположим, что функция   дифференцируема на интервале . Это значит (см. §3), что на данном интервале график функции  имеет в каждой своей точке касательную, не параллельную оси ординат.

Определение. Говорят, что график функции  имеет на интервале  выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции в пределах данного интервала лежит выше (ниже) любой своей касательной.

Следующая теорема устанавливает связь между направлением выпуклости графика функции  и знаком её второй производной. Эта теорема приводится здесь без доказательства.

Теорема 25.1. Пусть функция  имеет на интервале  вторую производную. Тогда, если эта производная положительна (отрицательна) всюду на этом интервале, то график функции  имеет на интервале  выпуклость, направленную вниз (вверх).

Дадим определение точки перегиба. Предположим, что функция  дифференцируема на интервале , т.е. в любой точке, абсцисса которой принадлежит интервалу , график этой функции имеет касательную.

Определение. Точка  графика функции  называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки  оси абсцисс, в пределах которой график функции  слева и справа от точки  имеет разные направления выпуклости. Поверхностные интегралы второго рода Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля по внутренне ориентированной поверхности S, заданной уравнением

График функции , изображённый на рисунке 6, на интервале  имеет выпуклость, направленную вверх, на интервале  – выпуклость, направленную вниз; точка (0,0) является точкой перегиба этого графика.

Сформулируем без доказательства необходимое условие перегиба графика функции, имеющей вторую производную.

Теорема 25.2. Если функция  имеет в точке  вторую производную и график этой функции имеет перегиб в точке , то .

Отсюда ясно, что перегиб следует искать лишь в тех точках оси абсцисс, в которых сама функция  дифференцируема, а вторая производная этой функции либо равна нулю, либо не существует. Такие точки называются критическими точками второго рода.

Заметим, что равенство нулю второй производной является необходимым, но не достаточным условием перегиба. Так, например, функция  в точке  не имеет перегиба, хотя вторая производная этой функции, равная , в точке  равна нулю.
Сформулируем теперь без доказательства достаточное условие перегиба.

Теорема 25.3. Пусть функция  имеет вторую производную в некоторой окрестности точки , при этом сама точка   является критической точкой второго рода. Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная  имеет разные знаки слева и справа от точки , то график этой функции имеет перегиб в точке .

Пример Найти интервалы, на которых сохраняется определённое направление выпуклости, и точки перегиба графика функции .

Решение. Найдём критические точки второго рода: 

  при . Вторая производная существует на всей действительной оси, поэтому других критических точек второго рода нет. При  , при  , поэтому в интервале  график заданной функции имеет выпуклость, направленную вверх, в интервале  – выпуклость, направленную вниз, а точка графика (1,0) является точкой перегиба.

Применим изложенный метод к задаче об эффективности рекламы.

Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени t = 0 из рекламы получили информацию x0 человек из общего числа N потенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент времени t > 0 число знающих о продукции людей равно x(t). Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так и числу неосведомленных покупателей. Это приводит к дифференциальному уравнению

  .

Здесь k – положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента t:

 .

Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифферен­циального уравнения:

 .

В общее решение входит неопределенная константа С. Полагая NC = D, получим равенство:

 x/(N – x) = eNkt + D,

из которого определим функцию x(t):

 .

Здесь E = e–D. Такого вида функция называется логистической, а её график – логистической кривой.

Если теперь учесть, что х(0) = х0 и положить х0 = N/a, где a > 0, то можно найти значение константы Е. Логистичеcкая функция примет вид:

  .

На рисунке 2 приведены примеры логистических кривых, полученных при различных значе­ниях a. Здесь величина N условно принималась за 1, а величина k бралась равной 0,5.

С помощью логисти­ческой функции описыва­ются многие экономические, социаль­ные, технологичес­кие и биологические про­цессы, например, постоян­ный рост продаж, распростра­нение слухов, распространение техни­ческих новшеств, рост популяции определенного вида животных и др.

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука,1982, ч.1; 1983, ч.2. 2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Начальный курс. Под ред. А.Н.Тихонова. М.: Изд во МГУ, 1985. 662 с. 3. Задачник по курсу математического анализа под ред. Н.Я.Виленкина. М.:Просвещение,1971, ч.1 2. 4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М.: Наука,1967, т.1 2. 5. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Наука,1973, т.1 2.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций