Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Направление выпуклости графика функции.

Асимптоты графика функции

Рассмотрим кривую, являющуюся графиком функции .

Определение. Прямая L называется асимптотой кривой , если расстояние от точки , лежащей на кривой, до прямой L стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальными, наклонными и горизонтальными

Знание асимптот облегчает построение графика функции.

Дадим определение вертикальной асимптоты.

Определение. Прямая  называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений  или  равно  или .

Заметим, что если в точке  функция  имеет разрыв второго рода, при котором хотя бы одно из односторонних предельных значений бесконечно, то прямая  является для графика этой функции вертикальной асимптотой.

Дадим определение наклонной асимптоты. Градиент Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u в какой- либо точке. В физике существуют такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.

Определение. Прямая  называется наклонной асимптотой графика функции  при  (), если функцию  можно представить в виде

,

где.

График функции, имеющей две асимптоты (вертикальную и наклонную), изображён на рисунке 8.

Следующая теорема устанавливает необходимые и достаточные условия, при которых график функции  имеет наклонную асимптоту.

Теорема 26.1. Для того чтобы график функции  имел при  наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

 и 

(  и )

Доказательство. Рассмотрим случай существования асимптоты при .

1. Необходимость. Пусть график функции  имеет при  асимптоту . Тогда , где . Отсюда следует, что

,

.

2. Достаточность. Пусть указанные в теореме пределы при  существуют. Но существование второго из этих пределов означает, что разность  является бесконечно малой при , т.е.  или ,

где , что и требовалось доказать.

Случай существования асимптоты при  рассматривается аналогично.

Теорема доказана.

Если, в частности, угловой коэффициент  наклонной асимптоты равен нулю, то такая асимптота называется горизонтальной.

Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

 a0(x)y¢ + a1(x)y = B(x). (1)

При a0 ¹ 0 его можно представить в виде:

 y¢ + a(x)y = b(x), (2)

где a(x) = a1(x)/a0(x) и b(x) = B(x)/a0(x).

Если правые части (1) и (2) равны нулю, то эти уравнения называются однородными, в противном случае – неоднородными.

Если в уравнении (1) a0(x) = a0 и a1(x) = a1, то есть эти функции являются константами, то уравнение (1) называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим однородное уравнение

 y¢ + ay = 0. (3)

Перепишем его в виде:  или . Последнюю формулу можно рассматривать как равенство дифференциалов функций одного и того же аргумента x. Интегрируя это равенство, получаем lny = –ax + C, или y = e–ax + C, где C ‑ произвольная константа. Если теперь ввести обозначение eC = A, то можно представить так называемое общее решение уравнения (3) в виде:

 y = Ae–ax. (4)

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука,1982, ч.1; 1983, ч.2. 2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Начальный курс. Под ред. А.Н.Тихонова. М.: Изд во МГУ, 1985. 662 с. 3. Задачник по курсу математического анализа под ред. Н.Я.Виленкина. М.:Просвещение,1971, ч.1 2. 4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М.: Наука,1967, т.1 2. 5. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Наука,1973, т.1 2.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций