Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Направление выпуклости графика функции.

Асимптоты графика функции

Пример. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Так как , то прямая  является для графика функции вертикальной асимптотой. При этом .

Найдём :

 .

Найдём теперь  :

,

следовательно, прямая   является для графика заданной функции наклонной асимптотой при . Точно также можно убедиться в том, что прямая  является наклонной асимптотой этого графика и при . Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.

Пример . Убедимся в том, что график параболы  не имеет асимптот. Действительно,  , следовательно, график данной функции не имеет наклонной асимптоты. Так как функция непрерывна на всей действительной оси, то её график не имеет и вертикальных асимптот.

Это решение зависит от неопределенной константы A, придавая которой различные значения, можно получить все множество интегральных кривых уравнения (3). Если мы хотим найти интегральную кривую, проходящую через точку (x1, y1), то нужно подставить координаты точки в формулу (4) и определить значение константы A. С этим значением константы A формула (4) будет определять лишь одну интегральную кривую или так называемое частное решение уравнения (3).

Как правило, задача ставится так: найти решение уравнения (3) при условии

 y(0) = y0. (5)

Последняя формула называется начальным условием для уравнения (3).

Дифференциальное уравнение (3) при начальном условии (5) имеет единственное решение, которое определяется формулой

 y(x) = y0e–ax. (6)

Заметим, что для задания начального условия, вообще говоря, не обязательно выбирать значение аргумента x, равное нулю. Как сказано выше, выделить единственное решение из множества, задаваемого формулой (4) (то есть определить константу А), можно с помощью любого соотношения y(x1) = y1, считая его начальным условием.

Если в уравнении (3) a = 0, то интегрирование приводит к решению y(x) = C, то есть к константе, которая при начальном условии (5) равна y0. Таким образом решение y(x) сохраняет начальное значение y0 при изменении x.

Рассмотрим теперь случай неоднородного дифференциального уравнения первого порядка. Пусть дано уравнение

 y¢ + ay = b,  ( b = cost ) (7)

с начальным условием y(0) = y0.

Введем новую неизвестную  (считаем, что a ¹ 0). Теперь уравнение (7) примет вид  или z¢ + az = 0. Как было показано выше, решением последнего уравнения является функция z = z0e–ax, где . Возвращаясь к изначальной неизвестной, получаем решение уравнения (7) при заданном начальном условии:

  . (8)

Если в уравнении (7) a = 0, то его решением при заданном начальном условии будет функция y(x) = bx + y0.

Заметим, что решение (8) состоит из двух частей: yh = Ae–ax ‑ решения однородного уравнения y¢ + ay = 0 и y0(x) = b / a ‑ решения, которое назовем равновесным и которое получается, если в уравнении (7) положить y¢ = 0. Такое представление позволяет рассматривать решение (8) уравнения (7) как сумму равновесного или фиксированного значения ye и отклонения или девиации yh тра­ектории y(x) от равновесного значения. Это отклонение возрастает экспоненциально с ростом x при a < 0 и стремится к нулю при a > 0. В первом случае (a < 0) решение называется неустойчивым, а во втором – устойчивым (асимптотически устойчивым).

Как показано на рисунках 1 и 2, отклонение yh = (y0 – ye)e–ax от уровня равновесия  уменьшается с ростом x при a > 0 и увеличивается с ростом x при a < 0.

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука,1982, ч.1; 1983, ч.2. 2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Начальный курс. Под ред. А.Н.Тихонова. М.: Изд во МГУ, 1985. 662 с. 3. Задачник по курсу математического анализа под ред. Н.Я.Виленкина. М.:Просвещение,1971, ч.1 2. 4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М.: Наука,1967, т.1 2. 5. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Наука,1973, т.1 2.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций